LA SPIEGAZIONE DEI MOTI CELESTI E DEI MOTI LOCALI:

LE LEGGI DELLA DINAMICA  E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

 

Percorso didattico per la classe terza del Liceo Scientifico PNI

Progetto: prof.ssa Paola Falsini (Fisica)

Liceo Scientifico "A.M.E. Agnoletti"  Sesto Fiorentino

a.s. 2005/2006

 

Introduzione

Il percorso didattico qui descritto è stato elaborato, nell’ambito del progetto dell’IRRE Toscana “Educazione scientifica e innovazione didattica-curricolare nelle scuole secondarie”, all’interno del gruppo coordinato dal prof. Carlo Fiorentini; la riflessione introduttiva, cui si rimanda, sul mito della misura nella scienza e sul mito del “metodo scientifico” nell’insegnamento, ha condotto a elaborare e realizzare un percorso didattico che cercasse di affrontare un tema fondamentale, quale quello della dinamica, secondo un approccio diverso da quello usualmente offerto dalla prassi didattica tradizionale, incoraggiata e rinforzata dai manuali scolastici.

            In particolare, si è voluta proporre una paziente costruzione di concetti scientifici, invece che una rapida presentazione di definizioni e leggi quale è quella offerta dai manuali; in essi, ben inteso, le leggi sono sempre giustificate attraverso l’esperimento di laboratorio al fine di “rispettare” le tappe di quel metodo scientifico che non manca mai di essere presentato nel primo capitolo di ogni manuale. Ma il tutto si risolve frettolosamente: fornite leggi e definizioni si passa alla fase addestrativa, che ha come unico effetto quello di  far memorizzare nozioni e procedure, utili al buon esito delle verifiche scolastiche ma poco significative al fine di un autentica comprensione e dunque di un apprendimento significativo. L’insistenza, poi, sull’uso di un lessico specifico, non accompagnata da una adeguata riflessione sui significati dei termini specialistici, può rafforzare negli studenti la convinzione, più o meno consapevole, che per fornire una spiegazione scientifica di un fenomeno sia sufficiente usare i termini scientifici [Barsantini, 2003]. Lo studio della Fisica, per molti dei nostri studenti, si riduce così a una sterile memorizzazione e manipolazione di formule, invece che rappresentare un’occasione per conoscere i processi vivi del fare scienza [Bruner, 1997: 140], per far sì che le discipline scientifiche contribuiscano, al pari di quelle umanistiche, alla formazione dei nostri studenti.

            Queste considerazioni sull’insignificanza dell’insegnamento tradizionale delle discipline scientifiche, e della Fisica in particolare, sono ampiamente supportate dai risultati di diverse ricerche su studenti italiani e stranieri, descritte in letteratura [Arons, 1992; Grimellini, 1991].

            L’approccio innovativo che si è voluto mettere in atto (per certi aspetti già sperimentato e documentato dall’insegnante in altre occasioni [Cambi, 2005]) ha cercato di utilizzare la storia della Scienza: non con l’intento di sostituire allo studio della Fisica quello della sua storia, ma cercando altresì di far ripercorrere agli studenti quelle tappe fondamentali che hanno condotto alla costruzione dei concetti e delle leggi che costituiscono il fondamento della Fisica classica. Questo punto di vista sulla storia della scienza si trova espresso con chiarezza ed efficacia in questo brano di J. Bruner [1997:140]: “Non sto proponendo di sostituire alla scienza la storia della scienza. Sostengo invece che la nostra istruzione scientifica dovrebbe tener conto in ogni sua parte dei processi vivi del fare scienza, e non essere un resoconto della “scienza finita” quale viene presentata nel libro di testo, nel manuale e nel comune e spesso noiosissimo esperimento di dimostrazione”. Venendo proprio alla legge fondamentale della dinamica, che è anche il cuore del nostro percorso, l’insegnante ritiene che la prassi didattica tradizionale, secondo la quale la legge è solitamente verificata in una lezione di laboratorio (sostanzialmente attraverso misure di spazi e tempi per un corpo che si muove su una rotaia senza attrito trascinato da un peso), oltre che essere noioso, come afferma Bruner, rappresenti una banalizzazione e, in qualche modo, una mistificazione. Arons [1992: 63]. sostiene che: “Nello studio della fisica, il principio d’inerzia e il concetto di forza sono stati, storicamente, due degli scogli più duri per gli studenti[…]. Non è sorprendente che il problema didattico in questo campo sia così difficile da risolvere, se si tiene conto di quanto tempo fu necessario all’inizio alla mente umana per chiarire questi aspetti dei fenomeni naturali. Coloro che affrontano tale studio per la prima volta devono sempre esaminare di nuovo almeno alcuni degli ostacoli e delle difficoltà originali”.  Come vedremo in modo approfondito nella descrizione del percorso, non si tratta solo di verificare una legge ma di costruire concetti chiari e distinti, quali il concetto di forza in un contesto dinamico e quelli  di velocità e accelerazione come grandezze vettoriali, attraverso le loro relazioni reciproche.

            “Esaminare almeno alcuni degli ostacoli e delle difficoltà originali”, afferma dunque Arons; è proprio ciò che si è cercato di fare: presentare le leggi della dinamica e la legge della gravitazione universale nel loro prodursi storico, soffermandosi con attenzione su alcuni passaggi cruciali, offrendo agli studenti la possibilità di sbagliare, evidenziando come i loro errori siano gli stessi di coloro che nel corso della rivoluzione scientifica del XVII secolo si erano misurati con gli stessi problemi; mostrare come certe idee siano giunte a maturazione attraverso il contributo di diverse menti, con diverse sensibilità, anche attraverso approcci che oggi noi non giudicheremmo rigorosamente scientifici; evidenziare il ruolo decisivo della matematica e quello del confronto tra previsioni teoriche e dati sperimentali. Tutto questo cercando sempre di rendere gli studenti protagonisti, chiedendo sempre il loro intervento, sollecitando la formulazione di ipotesi e la discussione collettiva di esse; lasciandoli, come si è già detto, liberi di sbagliare in modo che il passaggio dalle concezioni di senso comune a quelle scientificamente accreditate avvenisse con piena consapevolezza di ognuno.

            La validità di questo approccio, in cui le leggi della dinamica sono presentate contestualmente al tema della gravitazione, trova, ci sembra, particolare conferma in questa affermazione di M. Jammer [1979: 129] secondo cui “Il concetto di forza in Newton è intimamente connesso, storicamente oltre che metodologicamente, al suo profondo studio della gravitazione. (…) Le considerazioni generali di Newton sulla forza sono correlate ai suoi studi sulla gravitazione, in quanto il problema di una spiegazione dinamica dei moti planetari per render ragione delle tre leggi di Keplero era all’ordine del giorno”. Proprio questo dovrebbe essere il filo conduttore di un approccio narrativo allo  studio della Fisica: raccontare i problemi che erano all’ordine del giorno per gli scienziati del passato e il dibattito, sempre complesso, vivace, articolato, che ha condotto alla loro soluzione.

 

 

DESCRIZIONE DEL PERCORSO DIDATTICO

 

Il percorso è stato svolto in una classe terza (24 studenti) di un liceo scientifico, corso PNI  (le ore settimanali di Fisica sono tre fin dal primo anno); esso ha impegnato la classe per tutto il primo quadrimestre e non si tratta dunque di un approfondimento o di un ampliamento o di una soluzione diversa alla trattazione di un tema particolare del programma…. Si tratta di un ripensamento e di un cambiamento profondo  rispetto all’usuale prassi didattica, che  interessa un tema fondamentale tra quelli previsti per la classe terza. La scelta del libro di testo operata dall’insegnante è coerente con questo tentativo di innovazione: il manuale in adozione è il “PPC - Project Physics Course” (vol A per la classe terza) la cui versione italiana è edita da Zanichelli. Si tratta, a giudizio dell’insegnante, di un ottimo testo, forse l’unico che non relega gli aspetti storici a mere curiosità o abbellimenti ma ne fa  veramente un elemento fondante della trattazione dei diversi temi; e si è in effetti rivelato un strumento funzionale al lavoro che si intendeva svolgere, pur con qualche importante riserva sull’ordine di presentazione dei temi.

             Il percorso si è connesso strettamente con il lavoro svolto nell’anno scolastico precedente; nel corso dell’anno 2004/05 la classe era stata impegnata, per circa sei mesi, nello studio del movimento secondo una trattazione originale elaborata dall’insegnante. In sintesi, esso si era così articolato:

 

  1. Dall’osservazione del cielo alle rappresentazioni cosmologiche dell’antichità; il moto dei pianeti
  2. La concezione del movimento nel cosmo aristotelico
  3. Il problema dei pianeti: la soluzione degli antichi, il sistema copernicano
  4. Il moto della Terra e l’esigenza di fondare una nuova fisica: Galileo sviluppa una nuova concezione del movimento
  5. Lo studio del moto di caduta, definizione di accelerazione
  6. Moto dei proiettili, applicazione della nuova concezione del movimento.

 

All’interno del percorso si è formulato esplicitamente il Principio di Relatività, proprio come fondamento della nuova Fisica, e vi si possono rintracciare formulazioni implicite del Principio d’Inerzia e della II legge della dinamica, (il percorso rappresenta una modifica e un adattamento alla classe seconda di quello progettato all’interno di Trasversalia cui ci siamo già riferiti [Cambi, 2005]). Come già precisato e come si capirà meglio nel seguito, quanto svolto in seconda è prerequisito fondamentale per il lavoro della classe terza qui presentato.

 

Il percorso può essere così suddiviso in modo sintetico:

 

  1. Le osservazioni di Galileo al cannocchiale e l’affermarsi dell’ipotesi copernicana.
  2. Keplero, la ricerca dell’Armonia, la determinazione dell’orbita di Marte, la formulazione delle tre leggi.
  3. “A quo moventur planetae?” Il Principio d’inerzia, la necessità di un’azione per i moti curvilinei, l’idea di attrazione universale di Hooke e Borelli, la ricerca di una spiegazione unica per moti celesti e terrestri.
  4.  Newton: il concetto di accelerazione nei moti curvilinei, l’identità dinamica tra moto circolare uniforme e moto uniformemente accelerato.
  5. Il concetto di forza impressa, la massa inerziale, la seconda legge del moto; il concetto di forza come interazione e la terza legge del moto.
  6. Dalle leggi del moto dei pianeti alla legge della gravitazione universale.

 

1.      LE OSSERVAZIONI DI GALILEO AL CANNOCCHIALE E L’AFFERMARSI DELL’IPOTESI COPERNICANA.

Lo svolgimento del percorso ha impegnato la classe fin dall’inizio dell’anno scolastico 2005/06; c’era stata anche una sorta di “anteprima” negli ultimi giorni di scuola dell’anno precedente: poiché agli studenti è stata assegnata, durante l’estate, la lettura di  alcuni brani del Sidereus Nuncius di Galileo, si è organizzata una serata di osservazione del cielo con un telescopio disponibile presso la nostra scuola (l’ultimo tema svolto in seconda era stato, tra l’altro proprio l’ottica e lo studio degli strumenti ottici. Si è trattato di una serata particolarmente fortunata in cui è stato possibile osservare nelle condizioni ottimali i satelliti di Giove; l’anno scolastico 04/05 era iniziato con la revisione di un lavoro estivo di osservazione del cielo a occhio nudo e anche per questo l’insegnante ha ritenuto particolarmente significativo e motivante per gli studenti concludere l’anno con questa nuova esperienza di osservazione del cielo.

Dunque, quando ci siamo ritrovati a settembre, siamo partiti dalle osservazioni svolte da Galileo al cannocchiale; l’insegnante aveva assegnato la lettura di alcune parti del Sidereus Nuncius: l’inizio, in cui l’autore descrive in sintesi ciò che ha potuto osservare con il nuovo strumento e le caratteristiche dello strumento stesso; le pagine in cui è descritto l’aspetto “della faccia lunare che è rivolta al nostro sguardo” [Galilei, 1993: 91]e le sue somiglianze con la superficie della Terra; i brani in cui è descritto il diverso comportamento di stelle fisse e pianeti osservati con il cannocchiale, il gran numero di stelle visibili con lo strumento e non osservabili a occhio nudo, ad esempio nella costellazione di Orione; e infine le pagine contenenti la descrizione degli Astri Medicei. Pur non rileggendo tutto in classe, si è voluto soffermarsi abbastanza a lungo su questo testo che gli studenti avevano, comunque, mostrato di aver apprezzato e compreso. L’insegnante ha aggiunto alcune notizie sulla grande popolarità acquistata da Galileo dopo la pubblicazione di questo libro (tradotto, nell’arco di qualche decennio, in Russia, India, Giappone, Cina); di Galileo gli studenti sapevano già molto avendo letto tanti brani nel precedente anno scolastico sia dal Dialogo che dai Discorsi. Come esempi concreti di questa popolarità e di come il cannocchiale abbia contribuito a costruire e diffondere una nuova visione del cielo si è chiesto agli studenti di ricercare il dipinto di Elsheimer La fuga in Egitto e dell’Assunzione della Vergine di L. Cigoli in Santa Maria Maggiore a Roma, cercando di individuarvi gli elementi legati alle scoperte galileiane; compito che è stato assolto con interesse.

            In aula d’Informatica si sono cercate alcune foto della faccia della Luna (disponibili ampiamente anche sul libro di testo) e si sono confrontate con i disegni di Galileo; l’osservazione di queste immagini era guidata dalla lettura delle descrizioni di Galileo . Così si è riconosciuto che “il termine che divide la parte oscura dalla luminosa … è segnato da una linea disuguale, aspra e notevolmente sinuosa”; che “un gran numero di piccole macchie nericce … cospargono dovunque quasi tutta la plaga già illuminata dal Sole”, mentre “nella parte tenebrosa della Luna appaiono moltissime punte lucenti, totalmente divise e staccate dalla regione illuminata” [Galilei, 1993: 91-93][i].

 

FOTO LUNA

 

Gli studenti non hanno avuto difficoltà a comprendere come questi elementi e il loro  mutare d’aspetto con il trascorrere delle ore conducano alla conclusione, che già l’autore ci aveva anticipato, che la superficie della Luna non è levigata,  uniforme ed esattamente sferica, come gran numero di filosofi credette di essa e degli  altri corpi celesti, ma ineguale, scabra e con molte cavità e sporgenze, non diversamente  dalla faccia della Terra” [ib, 91]

            E’ stata assegnata come compito a casa la determinazione dell’altezza di una montagna lunare presentata nel libro di testo (si trattava del monte denominato Pitone), secondo un metodo che non si discosta nella sostanza da quello che lo stesso Galileo impiega nel testo; i risultati ottenuti, o in alcuni casi i tentativi svolti, sono stati oggetto di revisione e discussione in classe. In particolare, non si è mancato di far osservare come Galileo non si sia  limitato ad aspetti qualitativi ma abbia fornito elementi quantitativi a sostegno delle novità introdotte. Delle credenze di un gran numero di filosofi sulla perfezione dei cieli si era ampiamente letto nel precedente anno scolastico; dunque è stato chiaro come le osservazioni della Luna potessero contribuire a quella sovversion di tutta la filosofia naturale così temuta da Simplicio.

            Il libro di testo ci ha offerto molto materiale anche sulle altre scoperte, comprese quelle non descritte nel Sidereus Nuncius; per i satelliti di Giove si sono richiamate le osservazioni fatte a giugno nel prato della scuola (che non è stato possibile ripetere in quel periodo dell’anno scolastico: a metà ottobre, verso le 21, non erano visibili né la Luna né Giove) e si sono ripetute virtualmente mediante un software di simulazione in aula d’Informatica (si è anche provato a impostare la data dei disegni riportati da Galileo nella sua opera, ma le posizioni sono molto variabili al trascorrere delle ore e queste non sempre sono indicate nel testo; inoltre sarebbe stato necessario anche fissare l’ingrandimento uguale a quello delle osservazioni galileiane). Gli studenti hanno compreso bene le implicazioni della scoperta degli Astri Medicei nella disputa cosmologica, ricordando in particolare come uno degli assiomi di Copernico negasse proprio l’esistenza di un solo centro dell’Universo. In relazione alla vicenda umana di Galileo si è anche giustificato il nome attribuito a queste “stelline”, collegandolo alla volontà di lasciare la Repubblica Veneta e tornare in Toscana.

            Per quanto più complessa rispetto alle altre analizzate, si è voluto soffermarsi anche sulla scoperta delle fasi di Venere in quanto veramente cruciale per la disputa cosmologica. Attraverso un disegno ben fatto trovato sul web[ii] si è mostrato come si interpreta il diverso aspetto di questo pianeta nel sistema eliocentrico; ma altrettanto importante è stato far osservare, utilizzando disegni presenti nel libro di testo, come nel sistema tolemaico l’aspetto mutevole di Venere non sia giustificabile, in particolare mostrando come Venere non sarebbe mai piena. I diversi aspetti del pianeta sono anche stati osservati in aula d’Informatica utilizzando il solito software di simulazione. Ha divertito gli studenti la lettura dell’anagramma con cui Galileo comunica a Keplero, tramite l’ambasciatore di Toscana a Praga, la scoperta delle fasi di Venere : “Haec immatura a me jam frustra leguntur o.y.” ; le lettere riordinate danno “Cynthia figuras aemulatur mater amorum”che tradotto risulta: “Venere imita le figure della Luna” [Drake, 1988: 234].

            La descrizione delle macchie solari, che gli studenti hanno riconosciuto come ulteriore elemento contro l’idea della perfezione nei cieli, ci ha offerto l’occasione per soffermarsi sull’intervento di Galileo nella disputa cosmologica; in particolare si è cercato sul web, letto e commentato un brano della Lettera a Cristina di Lorena [Galilei, 1953]:

Ma che senza ventilare e discutere minutissimamente tutte le ragioni dell'una e dell'altra parte, e che senza venire in certezza del fatto si sia per prendere una tanta resoluzione, non è da sperarsi da quelli che non si curerebbono d'arrisicar la maestà e dignità delle Sacre Lettere per sostentamento della reputazione di lor vane immaginazioni, né da temersi da quelli che non ricercano altro se non che si vadia con somma attenzione ponderando quali sieno i fondamenti di questa dottrina, e questo solo per zelo stantissimo del vero e delle Sacre Lettere, e della maestà, dignità ed autorità nella quale ogni cristiano deve procurare che esse sieno mantenute”

Pur non essendo il corso di Fisica la sede più adatta per sviluppare questo tema, l’insegnante ha ritenuto buona cosa cogliere l’occasione per presentare la vicenda di Galileo in modo non banale ed eccessivamente semplificato. Si è anche chiesto di cercare in rete l’abiura pronunciata da Galileo, settantenne, il 22 giugno 1633 nel convento della Minerva a Roma. E si è voluto concludere questa fase del percorso leggendo un passaggio di una lettera di Galileo a Keplero, di un anno successiva alle scoperte astronomiche, presente nel libro di testo [AA VV, 1986: 3-28] :

 

“Ti ringrazio perché per primo e quasi solo, senza aver eseguito osservazioni sperimentali hai dato piena fiducia alle mie osservazioni [] Che cosa dirai dei primari filosofi di questo ginnasio, che pieni della pertinacia del serpente, mai, per quanto io mi offrissi mille volte di mettermi a loro disposizione, vollero vedere, né i pianeti, né la Luna, né il cannocchiale?”

Questo ci ha dato l’occasione per presentare la fase successiva del percorso.

 

 

2. KEPLERO, LA RICERCA DELL’ARMONIA, LA DETERMINAZIONE DELL’ORBITA DI MARTE, LA FORMULAZIONE DELLE TRE LEGGI.

 

2a. L’adesione al copernicanesimo

Si sono introdotte prima di tutto alcune notizie biografiche, avvalendosi sia del libro di testo sia della pubblicazione dedicata a Keplero nella collana “I Grandi della Scienza”; in particolare si è sottolineata l’infanzia difficile, i gravi problemi familiari, l’interesse per i fenomeni astronomici risalente a due episodi felici dell’infanzia: il passaggio di una cometa nel 1577 e l’eclissi di Luna del 31 gennaio 1580, durante la quale egli vide la Luna stessa farsi tutta rossa [Lombardi, 2000: 5]. Di questo fenomeno è stato possibile fornire una spiegazione; dato che l’ultimo tema dell’anno scolastico precedente era stato proprio l’ottica, è sembrato all’insegnante che fosse giusto mostrare come ciò che si è studiato ci permette di interpretare un fenomeno interessante e che molti avevano avuto occasione di osservare. Questi episodi sono anche serviti a descrivere e giustificare la grande importanza attribuita da Keplero all’influenza degli astri, con la quale giustificava tutto ciò che di negativo aveva segnato la sua vita familiare. E’ stata per gli studenti un’occasione per riflettere sull’astrologia, sul perché avesse senso praticarla a quell’epoca. Tra gli aspetti biografici di rilievo è il periodo della formazione, dal 1586, presso il seminario di Maulbronn prima e di Tubinga poi: si è esaminato con gli studenti, commentandolo in modo divertente, l’orario didattico settimanale per una classe di seminario superiore; ma soprattutto si è sottolineato il ruolo fondamentale nella formazione del giovane astronomo di uno degli insegnanti, Michael Maestlin. Costui è oggi annoverato tra le sole 9 persone che hanno realmente letto e compreso il De Revolutionibus di Copernico nei cento anni successivi alla sua pubblicazione (e tra queste vi sono anche lo stesso Keplero e Galileo!); e dunque si capisce come abbia potuto educare Keplero “a immaginare i fenomeni celesti” sotto i due punti di vista tolemaico e copernicano. Gli studenti hanno espresso sorpresa per questo dato, che sottolinea la grande complicazione della descrizione dei moti celesti, anche nella visione copernicana, e prepara a comprendere quanto rilevante sia dunque stato il ruolo di Keplero.

Gli aspetti biografici fin qui trattati ci hanno introdotti ad affrontare i contenuti dell’opera di Keplero; si è scelto di cominciare con la lettura di un brano tratto dall’inizio del Mysterium cosmographicum [Rossi, 1984: 159]. Si è capito subito che non avremmo potuto leggere Keplero come nell’anno precedente avevamo letto Galileo, e anche, a giustificazione delle difficoltà incontrate, il perché quest’ultimo non l’abbia letto! Nel brano in questione Keplero parla di come, grazie al “celeberrimo Michael Maestlin, mosso dall’insufficienza della comune concezione del mondo” avesse concepito “un tale entusiasmo per Copernico” da difendere in molte occasioni la sua concezione del mondo. Keplero vuole rispondere a tre domande:

-         Perché i pianeti sono proprio in quel numero?

-         Perché le estensioni degli orbi sono proprio quelle?

-         Perché i tempi di rivoluzione sono proprio quelli?

A questo punto si sono dovuti recuperare alcuni elementi relativi al lavoro dell’anno precedente; in particolare si è dovuto precisare che la parola orbe presente nel titolo dell’opera di Copernico, significa sfera; si è cercata su Internet un’immagine dell’universo copernicano, facendo notare quanto, a una prima occhiata, sia simile all’universo tolemaico. L’insegnante ha ritenuto necessario esaminare alcuni aspetti tecnici dei due sistemi, tolemaico e copernicano; in particolare gli eccentrici e gli equanti, che furono introdotti per spiegare le irregolarità del moto dei pianeti (evidenti dalla registrazione, presente sul libro di testo, delle retrogradazioni del pianeta Marte). Lo si è fatto basandosi sulle descrizioni presenti nel libro di testo e anche ricorrendo alle animazioni molto efficaci presenti sul sito internet dell’Istituto e Museo di Storia della Scienza[iii] (nel seguito IMSS).

            Ricordiamo che, in Tolomeo, l’eccentrico (D nella figura) è il centro della circonferenza (deferente) percorsa uniformemente dal centro dell’epiciclo (C nella figura, l’epiciclo è la circonferenza su cui si muove il pianeta); l’equante (E nella figura) è il punto rispetto al quale la velocità angolare del centro C dell’epiciclo è uniforme.

 

Rappresentazione grafica

 

Per la comprensione dell’idea dell’equante è stato necessario costruire insieme agli studenti la definizione di velocità angolare; non si è chiesto di andare sul libro di testo a studiarsi una definizione, ma si sono invece invitati gli studenti a fare qualche esempio concreto di moto circolare; chi ha pensato a una ruota, chi a disco di vinile, chi a qualcos’altro ancora. I vecchi dischi di vinile sono oggetti che gli studenti appassionati di musica conoscono bene; e proprio ricordando che esistono i 33 giri e i 45 giri si è cercato di capire cosa significassero questi numeri. Così, anche ricordando la parola periodo letta in Keplero, si è giunti alla definizione. Come consolidamento si sono assegnati esercizi per casa e si chiesto di cercare qualche esempio di velocità angolare in dispositivi domestici e di trasformarla in radianti al secondo.

            Si sottolinea la validità di questo procedimento che ci ha portato a introdurre una nuova grandezza legandola ad un preciso contesto; dunque, prima un significato, poi un nome, una definizione

            E’ stato necessario questo approfondimento su equanti ed eccentrici per fornire gli elementi su cui ha lavorato Keplero e poter comprendere appieno, successivamente, la rilevanza del cambiamento da lui apportato. Proprio la fatica a star dietro a un simile schema geometrico, e il fatto che lo stesso Copernico non abbia potuto rinunciare ad alcuni di questi elementi, ha preparato il terreno per apprezzare la grande novità dell’opera di Keplero.

            Proseguendo la lettura del brano del Mysterium abbiamo appreso come Keplero giustificasse la ragione del numero dei pianeti: i pianeti sono sei perché 5 sono i solidi regolari, o solidi platonici. Nelle sue parole [Rossi, 1984: 161]:

 

“L’orbe della Terra è la misura di tutti gli orbi. Circoscrivi ad essa un dodecaedro, la sfera che a sua volta lo circoscrive è quella di Marte. Alla sfera di Marte circoscrivi un tetraedro, la sfera che lo contiene è quella di Giove. Alla sfera di Giove circoscrivi un cubo, la sfera che lo racchiude sarà quella di Saturno. Nell’orbe della Terra inscrivi un icosaedro, la sfera inscritta in esso è quella di Venere. A Venere inscrivi un ottaedro, in esso sarà inscritta la sfera di Mercurio.”

 

Disegno solidi Keplero

 

Gli studenti non conoscevano i solidi regolari e se ne è data una trattazione essenziale, soprattutto spiegando perché essi possono essere solo cinque. Dopo aver cercato in Internet una presentazione adatta, l’insegnante ha deciso di proporre alla classe quella di Wikipedia, l’enciclopedia libera in rete[iv]; è stata anche un’occasione per riflettere sulla disponibilità di informazioni in Internet e per invitare gli studenti a essere critici e attenti rispetto a ciò che con estrema facilità si può trovare.

Il sito dell’IMSS anche su questo argomento ci ha offerto un’animazione ben fatta, fedele alla descrizione di Keplero che si era letta; inoltre, in quel periodo era allestita al Museo la mostra Il numero e le sue forme, ove si trovava esposta una ricostruzione in legno del modello cosmologico del Mysterium e una studentessa ha deciso di visitare la mostra una domenica mattina, riferendone con entusiasmo all’insegnante.

Si è scelto di soffermarci sulla questione dei solidi platonici per evidenziare un modo di pensare che sembra aver poco a che fare con criteri scientifici, la convinzione che guidava Keplero che fosse possibile scoprire nella natura leggi scritte da Dio, che l’indagine sui fenomeni naturali si traducesse in una ricerca dell’Armonia; gli studenti hanno colto con interesse questo aspetto e l’insegnante ha fatto presente che anche oggi molti scienziati, pur non parlando di leggi di Dio, sono guidati nella loro ricerca dalla fiducia nella semplicità, bellezza, eleganza delle leggi della natura.

 

2b. La formulazione delle prime due leggi

L’adesione al copernicanesimo di Keplero è rafforzata da questa “scoperta” relativa ai solidi regolari; ma la partita tra sistema eliocentrico e geocentrico non si giocava certo su un singolo dettaglio.  Il libro di testo offre a questo proposito un’ottima analisi del dibattito sul sistema copernicano, che è stata letta in classe e discussa con gli studenti. Diversi elementi erano già conosciuti (in particolare le obiezioni fisiche  al moto della Terra), altri erano nuovi e gli studenti vi hanno colto dei collegamenti con altri temi di Fisica studiati; di particolare rilievo l’intervento di uno studente che ha ricordato la teoria dell’horror vacui in relazione alla necessità di “riempire” gli spazi tra le orbite che erano state calcolate da Copernico come lontanissime tra loro.

            Seguendo la biografia di Keplero siamo giunti all’anno 1600 in cui Keplero lascia Graz, dove aveva insegnato matematica dal 1594, per recarsi presso l’astronomo Tycho Brahe che era matematico imperiale a Praga; Keplero era divenuto famoso e stimato grazie al Mysterium e la prospettiva di diventare assistente di Tycho era estremamente allettante per lui.

La figura di Tycho era stata in parte presentata nell’anno precedente soprattutto per la convinzione dell’immobilità della Terra. Qui si sono presentati più in dettaglio l’opera di Tycho e il suo modello cosmologico,  evidenziando gli elementi innovativi; analizzando il sistema del mondo proposto da Tycho gli studenti hanno colto l’impossibilità dell’esistenza delle sfere celesti, gli orbi di Copernico. Esse infatti si sarebbero dovute intersecare e questa impossibilità condusse Tycho a credere nella fluidità dei cieli e a introdurre il moderno concetto di orbita. Anche in questa occasione si è mostrata l’animazione presente sull’argomento sul sito IMSS.

 

Disegno universo secondo Tycho

 

                                  

            Ancora più importante per lo svolgersi del nostro percorso è il contributo dato dall’astronomo danese a migliorare la precisione delle osservazioni nei cieli. Far comprendere cosa significhi dato osservativo in astronomia ha rappresentato una difficoltà non da poco, di cui gli studenti non erano neppure consapevoli. Se è vero che nella nostra scuola gli studenti hanno poche occasioni per fare misure, nel caso di misure astronomiche le occasioni non ci sono proprio e non è neppure chiaro che cosa rappresentino i numeri che risultano dalle misure. D’altra parte il ruolo dell’anomalia quantitativa in questo contesto è stato cruciale [Kuhn,  1985: 226] e dunque era necessario fornire almeno qualche esempio concreto per dare un significato all’espressione disaccordo con i dati osservativi in campo astronomico o miglioramento nella precisione delle osservazioni.  A questo scopo si è ritenuto indispensabile introdurre le coordinate alto-azimutali di un astro. Il libro di testo ne fornisce una definizione chiara, contestualmente ad alcune tabelle recanti dati di osservazioni del Sole e della Luna. Per esercitarsi sulla definizione fornita si è utilizzato un pacchetto software di simulazione del cielo, chiedendo agli studenti di verificare, come primo esempio, quali fossero le coordinate alto-azimutali del Sole in quel momento (erano le 12,20 dell’11/10, l’altezza era circa 39° e l’azimut circa 165°). Si è chiesto poi di verificare le coordinate alto-azimutali in alcuni casi particolari: quanto sarebbe diventato l’azimut del sole da lì a pochi minuti, qual è l’altezza della Polare vista dal Polo Nord e dall’equatore, etc. 

            Si sono anche mostrate una tavola astronomica relativa ai passaggi della cometa di Halley (l’unica che è stato possibile reperire in Internet e che fosse “decifrabile”: si leggono anni, segni zodiacali, fasi di moto retrogrado o diretto, … ; si può notare il miglioramento nella precisione dei dati nel corso dei decenni …) e alcune tavole presenti sul libro di testo.

            A questo punto si sono descritti alcuni miglioramenti tecnici apportati da Tycho Brahe nell’osservazione del cielo, sottolineando che si trattava comunque di osservazione ad occhio nudo; in particolare, oltre all’importanza di costruire strumenti più grandi, ci è soffermati sulla correzione che è necessario apportare per tener conto della rifrazione dell’atmosfera terrestre, applicando una conoscenza di ottica del precedente anno scolastico. La precisione che può dunque vantare Tycho, per i dati da lui raccolti, risulta essere di 4’; si è confrontata con quella del nostro pacchetto di simulazione, che fornisce fino al millesimo di grado, e con quella dei sistemi tolemaico e copernicano che prevedevano le posizioni degli oggetti celesti con uno scarto di 2°. Dunque per Keplero recarsi a Praga significa, data la morte di Tycho dopo neanche due anni dal suo arrivo, entrare in possesso dei preziosi dati del danese; gli era stato chiesto di lavorare intorno al problema dell’orbita di Marte, che, con le irregolarità del suo moto, da sempre aveva messo alla prova l’ingegno degli astronomi matematici di ogni epoca, così come aveva impegnato senza successo un aiutante di Tycho, Longomontano. Keplero è convinto che Tycho abbia fatto cattivo uso dei dati preziosi da lui stesso ottenuti, a causa della sua adesione all’idea dell’immobilità della Terra, ma ha grande rispetto e ammirazione per lui, come esprime nel brano dell’Astronomia Nova, l’opera pubblicata nel 1609 in cui sono enunciate le prime due leggi, in cui ne parla come di diligentissimo osservatore.       Attraverso il libro di testo ed altre letture [Kuhn,  1972: 269-271; Rossi, 1984: 164-165] si è presentato il lavoro di Keplero intorno al problema dell’orbita di Marte; in particolare si è sottolineato l’immane impegno profuso nei 70 tentativi di calcolo da lui operati, nel corso di quasi 10 anni, per giustificare i dati a disposizione con le tecniche dell’astronomia copernicana; l’ostinata ricerca di combinazioni opportune di moti circolari uniformi, fino alla resa, potremmo dire, all’abbandono del dogma della circolarità. Infatti, egli giudica inaccettabile lo scarto di 8’ ottenuto tra la posizione di Marte prevista dai suoi calcoli e quella fornita dal diligentissimo Tycho, come viene dichiarato nell’Astronomia nova [AA VV, 1986: 6-8]:

 

“Poiché la bontà divina ci ha dato in Tycho Brahe un diligentissimo osservatore, e poiché i suoi dati ci indicano che nei suoi calcoli vi è un errore di 8 minuti, dobbiamo riconoscere e onorare con gratitudine questo favore divino []. Non potendo essere ignorati, questi 8 minuti hanno, da soli, aperto la strada al cambiamento dell’intera astronomia”

 

Anche se non era proprio possibile avventurarsi nei tecnicismi dei suoi tentativi, si è cercato di dare grande enfasi a questo passaggio dell’opera di Keplero, a questo momento fondamentale della storia dell’astronomia in cui si abbandona l’idea, espressa già da Platone, che gli oggetti celesti debbano muoversi secondo una qualche combinazione di moti circolari per giungere all’orbita ellittica. Se alcuni punti dell’opera di Keplero, come si è già visto e come si vedrà anche più avanti, ce lo fanno apparire come uno studioso lontano dalla figura del moderno scienziato, qui l’importanza da lui attribuita ai dati osservativi, che lo conduce ad affrontare il problema senza ipotesi preliminari, ne fanno un personaggio decisamente moderno.

            Come si è già avuto occasione di osservare, il manuale in adozione si è rivelato uno strumento particolarmente funzionale al percorso; così, anche nella descrizione della determinazione delle prime due leggi da parte di Keplero ci si è potuti senz’altro affidare alla trattazione presentata. Gli studenti hanno mostrato di apprezzare il procedimento ingegnoso di Keplero, attraverso cui egli ha determinato, per punti, prima l’orbita della Terra e la legge delle aree e poi l’orbita di Marte. L’insegnante ha anche voluto proporre una trattazione del problema presentato in un testo di A. Einstein [1975: 48-51] in cui l’autore sottolinea la genialità di Keplero (“dobbiamo ammirarlo e onorarlo per questo”) e descrive il metodo di triangolazione da lui usato in termini molto efficaci. Gli studenti, che già conoscevano questo metodo, hanno apprezzato il procedimento di Keplero, come si è potuto capire dalle descrizioni puntuali che ne hanno fornito nelle verifiche scritte e dall’impegno con cui si sono sforzati di comprenderne a fondo i dettagli.

            Dunque l’orbita dei pianeti è un’ellisse, “il problema dei pianeti era stato infine risolto”; di fronte a questo risultato di Keplero si è cercato di suscitare negli studenti quell’emozione che suscitano nel lettore le parole di Kuhn [1972: 272]. E anche a questo scopo si è approfondito la conoscenza di questa curva. Gli studenti ricordavano molto bene che si tratta di una delle possibili sezioni coniche (argomento trattato nel precedente anno scolastico, quando si è studiata la traiettoria parabolica dei proiettili); se ne è data la definizione come luogo geometrico (lasciando all’insegnante di matematica la dimostrazione che si tratta della stessa curva) e se n’è fatta la costruzione con CABRI, evidenziando i casi limite e assegnando per casa la costruzione sul quaderno. Sono anche state suggerite alcune situazioni in cui osservare un’ellisse (ad esempio, inclinando un calice di forma conica contenente del liquido). Di particolare importanza la definizione di eccentricità, che, come sempre, si è cercato di costruire insieme agli studenti; a questo proposito si sono prima presi in esami alcuni disegni dell’astronomia tolemaica e copernicana, osservando che l’eccentricità era definita come la distanza tra il centro del deferente e la Terra o il Sole, rispettivamente.

            Si è voluto, a questo punto, dedicare un approfondimento alle proprietà ottiche delle coniche, la cui conoscenza dobbiamo proprio a Keplero; questi si era dedicato allo studio dell’ottica perché aveva capito l’importanza di conoscerne le leggi al fine di apportare correzioni alle osservazioni astronomiche. Le domande a cui voleva rispondere erano del tipo: Da dove viene la luce rossa sulla Luna nelle eclissi totali? A cosa è dovuta la corona luminosa intorno al Sole durante le eclissi totali di Sole? Perché la Luna diminuisce di diametro durante le eclissi di Sole? [Lombardi, 2000: 37] Gli studenti ricordavano il contributo importante di Keplero per una corretta descrizione del fenomeno della visione (il cosiddetto ribaltamento della piramide ottica). Collegarsi al tema dell’ottica studiato nella classe seconda ha offerto l’occasione per mostrare come gli stessi strumenti geometrici e matematici siano utili a descrivere diversi aspetti della realtà; l’insegnante ha giudicato interessante, inoltre, far notare come il cerchio e la sfera non risultassero in ottica “le figure perfette a cui la fisica avrebbe dovuto dogmaticamente rifarsi”. [Lombardi, 2000: 43] (uno studente ha osservato che “così come le coniche hanno proprietà ottiche migliori, l’ellisse in astronomia risolve il problema dei pianeti, cosa che il cerchio non consentiva”).  Infine, è sembrato importante far conoscere l’origine della parola fuoco, che sappiamo introdotta proprio da Keplero, così importante nella definizione dell’ellisse come luogo geometrico e nella formulazione della legge delle orbite (nel fuoco sta il Sole).

            La proprietà dello specchio ellittico di riflettere in un fuoco un raggio di luce proveniente dall’altro fuoco è stata ottenuta con CABRI e poi dimostrata rigorosamente (la stessa cosa si è ripetuta con lo specchio parabolico, per il quale il secondo fuoco non cè, hanno detto gli studenti, o meglio è lontanissimo), Grande interesse e curiosità, com’era da aspettarsi, ha suscitato la visualizzazione di questa proprietà con uno specchio ellittico disponibile in laboratorio su cui si fa incidere la luce di un laser in modo che provenga da un fuoco. Il nostro Istituto ha il privilegio di custodire i materiali didattici di Emma Castelnuovo; tra questi, oltre allo specchio ellittico, abbiamo osservato alcuni pannelli recanti costruzioni grafiche e fotografie sulle proprietà delle coniche; di particolare interesse la foto di un specchio parabolico in Niger così grande che la temperatura nel fuoco raggiunge i 400°C.

 

            FOTO SPECCHI ELLITTICI E PARABOLICI

 

E’ stata anche un’occasione per riflettere sul significato dei modelli matematici nella descrizione della realtà; si capisce che lo specchio che abbiamo non è un’ellisse! Ci si è ricollegati con la discussione, letta lo scorso anno nei Discorsi, sulle traiettorie dei proiettili (se siano davvero parabole). Aristotele non pensava che la matematica fosse adatta a descrivere la realtà, e questo ha segnato profondamente la storia dell’indagine dell’uomo sulla natura.

 

2c. L’Armonia del mondo, la legge dei periodi     

La formulazione della terza legge di Keplero ci ha avvicinato a un tema, a un’idea che è un filo conduttore di tutta l’opera di Keplero, il Sole come anima motrix; in effetti questa era già presente nel percorso che lo aveva condotto alla legge delle aree: la virtù motrice emanata dal Sole è ciò che fa muovere il pianeta più rapidamente in vicinanza del Sole, che è quanto Keplero ha trovato in relazione ad alcune porzioni dell’orbita della Terra, prima, e poi di Marte. Un’idea affascinante, una legge semplice, quella delle aree, che dunque viene estesa a tutte le posizioni lungo l’orbita e a tutti i pianeti; tanto che essa servirà per determinare quella che viene denominata prima legge. Anche la presentazione di questa fase del percorso di Keplero verso le sue leggi è stato svolto basandosi sul libro di testo.

            Ancora di più che per le prime due, l’idea del Sole come anima motrix ha guidato Keplero alla formulazione della terza legge; egli afferma che “il Sole è la causa prima del moto dei pianeti” [Rossi, 1984: 167], e proprio la preoccupazione per la ricerca di una causa fisica per tale moto  rappresenta un mutamento notevole nel modo di considerare il moto nei cieli. Le sue leggi sono ancora leggi empiriche ma si capisce che egli è alla ricerca di un principio. A questo proposito si è colto l’occasione per ricordare che anche Galileo, per il moto di caduta dei gravi, ha proceduto in modo simile: diversamente da ciò che ci racconta nei Discorsi, prima ha stabilito empiricamente una legge (quella della dipendenza quadratica tra spazio e tempo di caduta) e poi è andato alla ricerca di un principio e l’ha trovato nella dipendenza lineare della velocità dal tempo.

            Questa ricerca della causa del moto s’impone, gli studenti l’hanno capito bene, dal momento che l’orbita è un’ellisse; come vedremo più avanti, il moto circolare, per millenni, è stato considerato un moto naturale, che non necessita di una causa. Ma perché un’ellisse?

            Come abbiamo già avuto occasione di osservare, leggere direttamente i testi di Keplero è difficile; così dall’antologia già citata di P. Rossi ci si è limitati a qualche passaggio per suggerire il modo di concepire l’azione del Sole da parte di Keplero, e cogliere, più avanti, il mutamento importante, da lui stesso preparato, che troviamo in Newton, ma anche in altri suoi contemporanei. Keplero scrive che “Il Sole è il corpo più bello … l’occhio del mondo … la lanterna … il focolare del mondo … il primo motore dell’universo” [Rossi, 1984: 166-167]. Gli studenti hanno ricordato, per contrasto, il primo mobile dell’universo aristotelico-tolemaico e il modello, visto l’anno precedente all’IMSS, della Sfera di Santucci (con la manovella che permetteva di metterla in rotazione!). Si è fatto appena un cenno all’affermazione che la virtù motrice fosse magnetica e a come Keplero fosse stato influenzato dall’opera di William Gilbert De Magnete, pubblicata nel 1600; per presentare questa idea si è utilizzata l’animazione relativa alle leggi di Keplero sul sito IMSS.

            La ricerca dell’Armonia nel moto dei pianeti, la convinzione che, dato che ruotano tutti intorno al Sole, dovesse esistere una regola semplice, ha infine condotto Keplero alla formulazione della sua terza legge: “Keplero cercava l’armonia e non si sarebbe mai fermato” [Cohen, 1974: 162] ; l’annuncio di questa scoperta lo abbiamo letto direttamente dalle sue parole, riportate sia nel libro di testo che in una citazione più ampia [Koyré, 1966: 288] in un brano di una delle sue ultime opere, l’Harmonices Mundi:

 

“ … una volta trovate le vere distanze degli orbi con l’aiuto delle osservazioni di Brahe e con un lavoro continuo durato moltissimo tempo, finalmente la vera proporzione dei tempi periodici alla proporzione degli orbi

                                                           sera quidam respexit inertem,

                                               respexit tamen et longo post tempore venit.

 

E se vuoi sapere il tempo esatto di questa scoperta, la concepii l’8 marzo di quest’anno 1618, ma non essendo stata confermata dai calcoli la respinsi come falsa. Il 15 maggio, tornando con nuovo impeto, l’idea dissolse le tenebre della mia mente, con tanta pienezza e accordo tra le mie fatiche di diciassette anni sulle osservazioni di Brahe e i miei studi presenti, che in un primo tempo pensavo di sognare e di assumere erroneamente come un principio ciò che invece si doveva dimostrare. Ma è cosa cortissima ed esattissima che i tempi periodici di due pianeti qualunque sono precisamente in proporzione sesquialtera delle loro distanze medie, ossia dei loro orbi.”

 

Questo brano ci descrive un momento di grande emozione e solo per questo meritava di essere letto: lo scienziato, al pari di un artista, coglie il frutto di una fatica, di un travaglio e ne gioisce; è un aspetto della ricerca scientifica che è importante far conoscere agli studenti. Inoltre, proprio perché si parla di un lavoro durato moltissimo, si capisce come il legame tra dati sperimentali e legge non sia così immediato come appare attraverso i manuali scolastici, se si leggono certe descrizioni di esperienze di laboratorio; e quanto, invece, il ruolo dell’intelligenza creativa dello scienziato sia fondamentale.

Keplero cita un testo delle Egogle di Virgilio (Egl I, vv 27/29) che gli studenti hanno tradotto con l’aiuto dell’insegnante di lettere: “ … benché in ritardo, certo, degnò di uno sguardo me che me ne stavo inerte: tuttavia mi guardò e venne a me dopo lungo tempo”. Per il poeta il soggetto era la libertà, per Keplero è la verità. E anche l’enunciato della legge ci ha impegnati in un lavoro di tipo linguistico, la ricerca del significato dell’aggettivo sesquialtera. Sul vocabolario della lingua italiana abbiamo trovato che significa una volta e mezzo l’altra, e l’insegnante ha poi fatto presente che nella Giornata prima dei Discorsi Galileo utilizza spesso questo aggettivo parlando di armonie musicali (ancor oggi è termine usato in matematica per indicare un relazione a metà tra lineare e quadratica, sesquilinear). Dunque, con parole nostre, abbiamo enunciato la terza legge: “i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti stanno tra loro come i cubi delle loro distanze medie dal Sole”. Questa è dunque la legge che ha affascinato Keplero, che lo ha fatto gioire; si è fatto presente che la Musica, l’Aritmetica, la Geometria e l’Astronomia erano insegnate insieme (e infatti alcuni hanno ricordato che nell’orario scolastico di Keplero c’era teoria musicale e aritmetica). Si è rammentato che anche per Galileo la formazione musicale fu molto importante: gli studenti ricordavano bene che la musica aveva a che fare con la questione della misura del tempo per la discesa sul piano inclinato. Senza poter approfondire troppo, si è presentata, leggendo, con un po’ di fatica, un brano dei Discorsi,  l’idea di Galileo che la tonalità di un suono sia determinata dalla frequenza della vibrazione che lo produce e la sua constatazione che il nostro orecchio riceve alcune combinazioni di note con diletto e altre con molestia; fino alla conclusione che uno degli accordi migliori si ha proprio quando tra le frequenze delle note suonate c’è un rapporto di 3 a 2 (quello che, tanti lo sapevano, si chiama accordo di quinta).

            Questa convinzione di Keplero che si dovesse trovare un’armonia musicale nel Sistema del Mondo ha fatto un po’ sorridere; ma come anche afferma Kuhn [1972: 280]: “L’applicazione pratica che Kepler fa della fede nelle armonie può apparire ingenua, ma questa stessa fede non è sostanzialmente diversa da ciò che stimola certe fasi della miglior ricerca contemporanea”; occasione importante, dunque, per far conoscere ai nostri studenti le diverse strade della ricerca scientifica.

 

3. “A QUO MOVENTUR PLANETAE?” … LA RICERCA DI UNA SPIEGAZIONE UNICA PER MOTI CELESTI E TERRESTRI.

 

3a. Le concezione sul movimento in Galileo e Cartesio

Abbiamo visto che con Keplero comincia a delinearsi il problema delle cause fisiche del moto dei pianeti; anche se l’anima motrix di Keplero, per cui il Sole doveva in qualche modo trascinare continuamente i pianeti intorno a sé, è ancora ben lontana dalla concezione che stiamo andando a costruire. Per affrontare questo tema delle cause fisiche abbiamo ripreso alcune concezioni del movimento in Aristotele e in Galileo. L’insegnante, ha posto alcune domande agli studenti proprio per richiamare quanto appreso nel corso del precedente anno scolastico; quella che segue è una sintesi della conversazione svolta.

 “Chi ricorda la distinzione tra moti naturali e violenti?” Sono naturali quelli intrapresi spontaneamente e violenti quelli che hanno bisogno di un’azione. “Chi ricorda perché è così secondo Aristotele?” Il moto naturale è quello che fa raggiungere a un oggetto il suo luogo.  “Il moto di un proiettile è naturale o violento?” Violento, ma … “Come veniva concepito da Tycho il moto di un proiettile? Dapprima nessuno risponde; poi, dopo qualche cenno dell’insegnante, qualcuno ricorda l’esempio di Wyle Coyote: non cade finché non ha esaurito la spinta. L’insegnante precisa che l’idea era che non si intraprendesse il moto naturale fino a che non si fosse esaurito quello violento.  “E invece che cosa pensava Galileo di questo moto?” Tutti ricordano che la traiettoria è una parabola. “Sì, ma coma arriva Galileo a questo risultato? Ricordano bene che il moto orizzontale resta nell’oggetto: è insito, dice qualcuno, è indelebilmente impresso; e, alcuni, ricordano anche che è un moto composto. Uno studente cita un brano di Galileo in cui il lettore è invitato a immaginare un piano perfettamente liscio, su cui un oggetto può essere mosso con un soffio. Altri aggiungono che il moto non cambia finché qualcosa non lo fa cambiare. “In particolare che cosa non cambia?” Rispondono la velocità. “E poi ?” La direzione del moto. 

Questa conversazione si è svolta in laboratorio di fisica; mentre l’insegnante poneva le domande e gli studenti rispondevano si teneva in funzione una rotaia a cuscino d’aria facendovi muovere un carrello, e inoltre si facevano rotolare delle sferette d’acciaio su un tavolo liscio; le sferette qualche volta si scontravano cambiando la direzione di moto. Si sono letti a questo punto alcuni brani di Descartes, scelti da un’antologia [Rossi, 1984: 307-312], al fine di rafforzare e chiarire meglio le idee sul movimento espresse dagli studenti e di introdurre nuovi elementi nella comprensione del rapporto tra il moto e le sue cause. Di Descartes si sono dati brevi cenni biografici: il titolo dell’opera e l’anno di pubblicazione, il fatto che fu scritta in latino, l’importanza del personaggio in Matematica e in Filosofia. Dopo la lettura si sono sottolineati alcuni passaggi:

 

“Non è richiesta maggiore azione per il movimento che per il riposo”.

 

Descartes ci spiega attraverso degli esempi concreti che mettere in moto un corpo non richiede più fatica di quanta non sia necessaria per fermarlo.

 

“Dio è la causa del movimento e la quantità di questo si conserva”.

 

Si costruisce con gli studenti la definizione di quantità di moto, non senza difficoltà: queste intervengono ogni volta che il linguaggio diventa quello della matematica. Ci si sofferma poi sulla

 

“Prima legge della natura: che ogni cosa resta nello stato in cui è, fino a che nulla cambia”.

 

E’ un testo molto importante; Cartesio osserva che i corpi non hanno da sé la natura di cessare il proprio moto ed è per ragioni nascoste ai nostri sensi che cessano. Questo è il motivo per  cui noi “abbiamo molta inclinazione a credere” che il movimento abbia di per sé la natura di cessare; gli studenti aggiungono che, in effetti, l’attrito che fa fermare i corpi non è un’azione visibile, ma proprio nascosta ai nostri sensi, come dice Cartesio. Sembra per il momento chiaro a tutti che il moto non ha bisogno di essere mantenuto (ma vedremo che in realtà molti la pensano così perché sono convinti che ci sia sempre qualcosa che lo mantiene!); su un’espressione di Cartesio l’insegnante ha ritenuto necessario soffermarsi: egli dice che quando un corpo ha cominciato a muoversi non cesserà di muoversi “con la stessa forza”, a meno che qualcosa non intervenga  a ritardarlo o arrestarlo. Con quale significato è qui usata la parola forza? È stata la domanda posta dall’insegnante agli studenti; e loro hanno risposto prontamente che avrebbe dovuto dire velocità. Nonostante questa risposta corretta si vedrà quanto sarà ancora lungo il percorso che porterà a tenere ben distinti i due concetti di forza e velocità.

 Il brano successivo ci porta a un nodo fondamentale, forse al tema centrale e più importante di tutto il percorso:

 

“La seconda legge della natura: che ogni corpo che si muove tende a continuare il suo movimento in linea retta … e non già secondo una circolare”.

 

Dunque il moto circolare non si mantiene da sé (ed è notevole il fatto che Cartesio, nell’enunciare una legge, senta la necessità di negare qualcosa; come per mettere in guardia contro un modo comune di percepire il moto circolare uniforme). Il brano è stato letto in laboratorio e se ne è così potuto mostrare il significato attraverso un espediente semplice: su un tavolo si è sparso un po’ di borotalco (ma andrebbe bene qualunque altra polvere abbastanza fine, purché sparsa il più uniformemente possibile e in uno strato sottile); si è appoggiata sul tavolo una “guida circolare interrotta”: si trattava di un cerchio di legno, del diametro di circa mezzo metro, da cui era stato tagliato un arco di una ventina di centimetri.

Dopo qualche tentativo, si fa muovere una sferetta d’acciaio lungo la guida e si osserva bene che, laddove questa s’interrompe, il moto diventa rettilineo: si osservano le tracce lasciate sul borotalco[v].

 

 

 


Gli studenti notano che se non è proprio in linea retta è perché abbiamo messo troppo borotalco e dunque l’attrito non è trascurabile; altri aggiungono che la sferetta ripercorre sempre lo stesso segmento di retta. Dunque, e questa è la conclusione espressa dagli studenti, il moto circolare ha bisogno di qualcosa che lo provochi; a maggior ragione quello su un’orbita ellittica. E così torniamo alla domanda che dà il titolo a questa sezione: A quo moventur planetae?  L’insegnante chiede Cosa risponderebbe Cartesio? Gli studenti rispondono che è Dio che muove i pianeti, secondo Cartesio. Ma quale domanda sarebbe più corretta? Alcuni provano a formulare la nuova domanda  “Cosa influenza i pianeti?”, altri precisano ancora meglio: “Che cosa fa deviare continuamente i pianeti dal moto uniforme in linea retta?” Anche se non tutti sono in grado di esprimersi con la stessa chiarezza nel formulare le nuove domande, tutti mostrano presto di aver compreso che ci vuole un’azione sul pianeta; qualcuno aggiunge ancora che il moto del pianeta non è naturale.

Come si capisce dalla descrizione, in questa fase del percorso gli studenti hanno cominciato a essere più attivi, a partecipare con più vivacità; è importante valorizzare ogni intervento positivo, soprattutto degli studenti che di solito sono più in ombra perchè più insicuri.

 

3b. Unificazione tra cielo e terra, una forza per deviare pianeti

 Per trovare risposte alle domande formulate dagli studenti si è letto un brano [Kuhn, 1972: 318-322] in cui abbiamo incontrato un nuovo protagonista della nostra storia, Robert Hooke; non era un nome nuovo per  gli studenti, che già conoscevano il suo contributo in biologia alla costruzione del microscopio e alla formulazione di una teoria cellulare, e ricordavano la legge dell’allungamento delle molle studiata in prima. In questo testo si sottolinea come Hooke avesse adottato “integralmente il concetto del moto inerziale e dell’identità tra leggi terrestri e celesti”; per Hooke deve esistere un principio d’attrazione tra il Sole e ciascun pianeta. Il testo di Kuhn illustra con un disegno un’idea intuitiva di Hooke (in una forma più esplicita, dice l’autore, di tutte quelle presentate in realtà da Hooke): il moto del pianeta sull’orbita circolare può essere concepito, con buona approssimazione, come il risultato di un moto uniforme in linea retta su cui interviene periodicamente una brusca spinta in direzione del Sole; l’approssimazione sarà tanto migliore quanto più frequenti, vicine tra loro saranno le spinte. E’ evidente, dice Kuhn, che è solo una suggestione: Hooke non precisa quantitativamente la sua idea, e non risulta che lo abbia mai fatto; ma si è ritenuto che fosse giusto far ripercorrere agli studenti questa strada, proprio con l’obiettivo di una piena comprensione di ciò che sarà la gravitazione universale in Newton, per ottenere un affinamento progressivo di un’idea, di un concetto, con il contributo di diverse menti, e non una definizione completa e già pronta data tutta in una volta.

                                                                                                                     

Disegno Spinte Su traiettoria poligonale

 

Kuhn riferisce che Hooke presentò la sua idea in una conferenza della Royal Society del 1666, che fu da lui conclusa mostrando un modello meccanico che visualizzasse l’azione del Sole sul pianeta appena presentata: un pendolo conico. Così anche noi, in laboratorio, abbiamo realizzato questo modello, semplicemente appendendo un pesetto a un filo di nylon fissato al soffitto del laboratorio; abbiamo cercato di realizzare ciò che descrive Kuhn: “Quando partiva in direzione opportuna con l’opportuna velocità, il corpo si muoveva lungo un circolo orizzontale” [ib: 321]. In effetti l’efficacia di questo modello è notevole: dopo un po’ di tentativi gli studenti hanno potuto osservare un corpo muoversi in aria su una circonferenza (il filo di nylon si vede appena), e per quanto certamente ciascuno avesse già potuto osservare qualcosa di simile, l’occasione di riflettere su di esso, di esaminarlo in questo contesto è senz’altro nuova (oltretutto, non avendo in un primo momento fissato bene il filo al soffitto, abbiamo potuto constatare insieme l’effetto della mancanza di una forza verso il centro …). Abbiamo parlato di efficacia di un modello, ma c’è di più, osserva Kuhn [ib: 321]: “Nell’opera di Hooke [] la spiegazione del moto planetario era diventata un problema di meccanica applicata, identico in linea di principio ai problemi terrestri del pendolo e del proiettile. Sperimentazioni terrestri producono una conoscenza diretta dei cieli e osservazioni celesti danno informazioni applicabili direttamente sulla Terra”. E conclude parlando di sfacelo della dicotomia terrestre-celeste.

            Dopo l’osservazione del moto del pendolo conico, si è assegnato come compito a casa di disegnare il diagramma delle forze presenti sull’oggetto; nel corso della classe prima si era introdotto il concetto di forza in situazioni di equilibrio, gli studenti si erano molto esercitati nel riconoscimento delle forze in un data situazione. Nella revisione di quanto svolto a casa è tuttavia emersa una difficoltà: diversi studenti avevano riconosciuto che le forze sono due e che quella del filo va scomposta nelle sue componenti, ma altri apparivano incerti. Percependo questa perplessità, l’insegnante ha posto la domanda se le forze sono diverse quando il pendolo è in equilibrio in posizione verticale e quando si muove come pendolo conico. A questa richiesta esplicita alcuni rispondono che nel caso del movimento è presente anche la spinta impressa all’oggetto. Altri hanno subito osservato, citando Cartesio, che i corpi non hanno bisogno di spinte per stare in moto, ma l’insegnante ha ritenuto a questo punto che fosse necessario dedicare ampio spazio alla questione, convinta, anche per la propria esperienza didattica, che sia un nodo cruciale nel passaggio dalle concezioni di senso comune a quelle scientificamente corrette [Falsini, 2004] . Dunque, saper riconoscere forze in situazioni d’equilibrio è cosa ben diversa dall’esame delle forze su un oggetto che si muove; poiché la situazione del pendolo conico si era dimostrata troppo complessa, si è scelto di riesaminare una situazione molto più semplice che gli studenti avevano osservato, sia direttamente che in un film didattico, e si è posta questa richiesta : Disegnate le forze su un disco a ghiaccio secco dopo che è stato messo in moto[vi]. Si sono esaminate le risposte: alcuni mostrano di avere acquisito già lo schema corretto e non disegnano niente in direzione orizzontale; ma parecchi altri si mostrano dubbiosi e ammettono di aver disegnato una freccia orizzontale nella direzione del moto. Se interpellati su cosa rappresenti questa freccia rispondono, in modo per lo più vago, che rappresenta il moto, la forza della spinta … La discussione tra gli studenti è stata vivace; tra i pochi che avevano già le idee ben chiare (non più di cinque o sei) uno è intervenuto proponendo ai compagni in difficoltà di distinguere tra la fase del moto accelerato, in cui la spinta c’è, e quella del moto uniforme, senza spinta. L’insegnante fa presente come la visione che i più mostrano di avere somigli a una teoria ben strutturata risalente al Medioevo, la teoria dell’impetus, che aveva trasferito all’interno dell’oggetto la causa esterna aristotelica; diversi studenti ammettono di essere medievali: per loro è difficile non disegnare quella freccia nella direzione del moto[vii]. L’insegnante osserva come il nostro senso comune sia basato su un’esperienza quotidiana in cui è sempre necessaria una forza per tenere in movimento gli oggetti; non siamo tutti Galileo e Cartesio! Forse avremmo bisogno di rieducare il nostro senso comune attraverso molte esperienze di moto in assenza d’attrito, per convincerci di ciò che questi grandi hanno saputo affermare solo con il discorso, laddove il senso condurrebbe a conclusioni opposte.

            Dopo questa ampia discussione, dopo aver richiamato la necessità di un’azione per ottenere un moto circolare, si è tornati a considerare il caso del pendolo conico; l’insegnante ha posto questa domanda Quale forza tiene il pendolo sulla traiettoria circolare? La risposta più comune è che ovviamente sia la forza dovuta al filo; l’insegnante sollecita una maggiore precisione e si arriva riconoscere che sarà la componente orizzontale di tale forza, mentre quella verticale “serve” a equilibrare la gravità. Ricordiamo che questo era il modello meccanico proposto da Hooke per il moto dei pianeti.

 

3c. L’attrazione universale secondo Barelli e Hooke

Prima di considerare di nuovo le idee di Hooke leggiamo qualche stralcio da un altro autore, Alfonso Borelli, da un testo di A. Koyré [1966: 404]:

 

“In primo luogo ci si chiede per quale necessità i pianeti non abbandonino mai i cerchi da loro una volta descritti, o allontanandosi dal globo intorno al quale ruotano per percorrere l’universo in differenti direzioni, o muovendosi verso il globo intorno a cui ruotano fino a unirsi con esso. [] Otterremo tale risultato supponendo [] che i pianeti abbiano un appetito naturale ad unirsi al globo attorno a cui ruotano, e che tendano con tutte le loro forze ad approssimarsi ad esso, i pianeti al Sole e gli astri a Giove.”

 

Alcuni studenti hanno colto subito la novità espressa in questo testo, un ulteriore passo verso l’unificazione delle leggi della natura, nel tentativo di dare una spiegazione comune al moto dei pianeti intorno al Sole e dei satelliti di Giove intorno a Giove. E’ evidente che ci si sta avviando verso l’idea di gravitazione universale; Kuhn [1972: 324] afferma che un passo ulteriore, ricco di enormi conseguenze, fu fatto da Hooke e Newton, suggerendo che la forza che guidava i pianeti verso il Sole, gli astri medicei verso Giove, la Luna verso la Terra fosse anche quella responsabile della caduta delle pietre e delle mele sulla Terra. Kuhn afferma che “ non riusciremo mai a scoprire chi dei due abbia concepito per primo quest’idea”[viii] e cita un testo del 1674 in cui sono espresse con chiarezza da Hooke le tre ipotesi su cui si fonda il sistema del mondo [ib: 324-325]:

 

“In primo luogo, tutti assolutamente i corpi celesti possiedono un’attrazione  o forza gravitazionale verso i loro propri centri, per mezzo della quale attirano non solo le loro stesse parti ed impediscono a queste di allontanarsi da essi, come possiamo osservare far la Terra, ma [] essi attirano in effetti anche tutti gli altri corpi celesti che si trovano nella sfera della loro attività; e di conseguenza che, non solo il Sole e la Luna hanno un’influenza sul corpo e sul moto della Terra e la Terra su di essi, ma anche Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno, con il loro potere d’attrazione, esercitano una considerevole influenza sul suo moto così come il corrispondente potere d’attrazione della Terra esercita una considerevole influenza anche su ognuno dei loro moti. La seconda ipotesi è questa: che tutti assolutamente i corpi dotati di un moto semplice e rettilineo continueranno ad avanzare in linea retta, finché, da qualche altra forza efficace, non vengono fatti deviare e curvare in un moto descrivente un circolo, un’ellisse o qualche altra curva composta. La terza ipotesi è: queste forze d’attrazione hanno un effetto tanto più potente, quanto più il corpo su cui agiscono è vicino al loro centro.”

 

Dopo la lettura personale o a piccoli gruppi, si commenta il brano collettivamente; l’insegnante sottolinea che la seconda ipotesi di Hooke è un’affermazione che ormai abbiamo trovato in tanti studiosi a cui è giunto il momento di dare un nome, Principio d’Inerzia; questo, dunque, è andato definendosi all’interno di un percorso che ci ha impegnati, già dall’anno precedente con Galileo, in riflessioni approfondite e distese nel tempo. Si vuole qui sottolineare questa scelta metodologica in contrasto con le  trattazioni affrettate di tanti manuali, condivise da troppa prassi didattica, che arrivano a banalizzare completamente una conquista concettuale di rilevanza enorme, alla base della Fisica classica.

Ancora in riferimento al brano di Hooke si è preso atto dell’ammissione dello scienziato di non essere ancora riuscito a verificare se la forza abbia veramente l’andamento con la distanza da lui ipotizzato; Kuhn [1972:326], sottolineando i limiti di Hooke come matematico, afferma che egli, nel tentativo di procedere a una verifica sperimentale della legge da lui intuita, disponeva peraltro di strumenti troppo poco sensibili per rilevare differenze di peso tra la sommità della cattedrale di St Paul a Londra e il fondo delle miniere.

L’idea dell’attrazione gravitazionale come unica forza che regola il sistema del mondo è stata a questo punto presentata anche attraverso il famoso disegno di Newton, presente sul libro di testo, in cui è suggerita l’idea che una palla di cannone, sparata con velocità sufficientemente elevata, possa diventare un satellite della Terra.

 

Disegno dI Newton: lancio da una montagna e orbite

 

4. NEWTON: IL CONCETTO DI ACCELERAZIONE NEI MOTI CURVILINEI, L’IDENTITÀ DINAMICA TRA MOTO CIRCOLARE UNIFORME E MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.

 

4a.  La stesura dei Principia

Isaac Newton, che già diverse volte abbiamo avuto occasione di citare,  è diventato a questo punto, per così dire, il protagonista della nostra storia; di lui è ricca già nel libro di testo la parte biografica, che è comunque stata presentata anche attraverso la pagina di sintesi presente nel numero de “I grandi della Scienza” di N. Guicciardini [1998] a lui dedicato. In essa è citata una lettera a Hooke del 1679 che è stata scelta dall’insegnante proprio per continuità con la trattazione svolta fino a questo punto e anche perché, come in altre occasioni, la testimonianza della comunicazione di idee tra studiosi, del dibattito vivace su di esse è utile a costruire quell’immagine corretta del modo di operare della scienza che abbiamo dichiarato fin dall’inizio come obiettivo di questa esperienza didattica. Il contenuto della lettera è stato presentato agli studenti attraverso la lettura di  un brano di R.S. Westfall [1984: 182-185] in cui si trovano in sintesi i temi del carteggio; tra questi l’esperimento proposto da Newton per dimostrare la rotazione terrestre. Anche se non aveva a che fare in senso stretto con lo sviluppo del percorso, ci è sembrato comunque opportuno soffermarci su questo tema, giudicandolo particolarmente motivante per gli studenti; infatti nell’anno scolastico precedente si era trattato ampiamente, attraverso i brani di Galileo, dell’impossibilità di rivelare un moto uniforme in linea retta (principio di Relatività), e dunque di stabilire, stando sulla Terra, se questa è ferma o in moto[ix].

            Westfall ci riferisce di un errore di Newton, documentato anche da un disegno, riguardo alla traiettoria percorsa da un oggetto in caduta su una Terra in rotazione, errore rilevato e corretto da Hooke[x]; Newton riconobbe in seguito che la lettera di Hooke l’aveva spinto a dimostrare la relazione tra orbita ellittica e dipendenza della forza dall’inverso del quadrato della distanza[xi]. La visita dell’astronomo Edmond Halley a Newton, avvenuta a Cambridge nell’agosto del 1684, sappiamo essere stata l’episodio a cui si deve la stesura dei Principia: Halley convince Newton a pubblicare i risultati cui è giunto riguardo al sistema del mondo e si sobbarca l’onere finanziario dell’impresa. Westfall [1989: 421] afferma che Halley amava definirsi “l’Ulisse che aveva tirato fuori un simile Achille”.  Newton, infatti, aveva trascorso gli ultimi cinque anni isolato dalla comunità scientifica, rifuggendo ogni possibile occasione di confronto o di dibattito (un capitolo della fondamentale biografia di Westfall [1989] s’intitola proprio Anni di silenzio); il problema posto da Halley “s’impadronì di lui come nessun’altra cosa prima di allora, con un’intensità tale che egli non potè resistervi” [1989: 421]. Si è letta con gli studenti una delle numerose testimonianze di Humphrey Newton [Westfall, 1989: 200, 422], che fu amanuense di Isaac a Cambridge tra il 1680 e il 1690, in cui è descritto un Newton che per i due anni della stesura dei Principia è così intento e assorto nei suoi studi da dimenticarsi di mangiare, distratto e completamente indifferente a qualunque occasione di divertimento, ricreazione  o passatempo.

           

4b. La prima legge del moto

A questo punto veniamo al contenuto dei Principia; il libro di testo, che tratta separatamente le leggi della dinamica e la gravitazione, ci presenta il frontespizio dell’opera: si osserva che è scritta in latino e ci si sofferma sul titolo, Philosophiae Naturalis Principia Matematica; l’aggettivo matematica esprime una convinzione nuova sull’indagine della natura, già conosciuta dagli studenti attraverso Galileo, in contrasto voluto con il titolo dell’opera di Cartesio Principia Philosophiae. La continuità con l’opera degli studiosi che lo hanno preceduto è testimoniata dal frontespizio del Dialogo di Galilei tradotto in inglese, letto da Newton nel 1666 ed espressa attraverso una citazione di Lord Rutherford, letta in classe con gli studenti, che afferma che “Non è nella natura delle cose che una persona, chiunque essa sia, possa fare una scoperta estremamente inaspettata; la scienza procede passo a passo, e il lavoro di ogni persona dipende dal lavoro dei suoi predecessori [] Gli scienziati non traggono i loro risultati dalle idee dei singoli ma dalla sintesi del lavoro intellettuale di migliaia di uomini.” [AA VV, 1986: 4-4]

Si è letta la prima legge del moto, prima in latino sul libro di testo e poi in italiano, nella traduzione presente nell’antologia di Paolo Rossi. L’insegnante ha proposto la lettura di un brano di A. Koyré [1972: 74] in cui l’autore sottolinea l’importanza delle parole usate da Newton, in particolare status e in directum. La prima ci serve a capire che, diversamente da quanto creduto da Aristotele in poi, il movimento non è un processo di mutamento opposto allo status vero e proprio che sarebbe la quiete. E’ un tema già conosciuto agli studenti dallo studio del moto secondo Galileo (e infatti Koyré [1976: 161] afferma che Newton attribuisce a Galileo la prima legge). Ma bisogna precisare che non ogni tipo di moto è uno status, una situazione, cioè, che non ha bisogno di cause per sussistere; solo il moto in directum lo è. Gli studenti sono stati invitati a leggere personalmente e con particolare attenzione il seguito del brano; in esso l’autore ci avverte:

 

“Nessun altro tipo di movimento, né quello circolare né quello rotatorio, anche quando fosse uniforme, può esser considerato uno status, per quanto il movimento rotatorio sembri capace di conservarsi addirittura più a lungo di quello rettilineo, che, almeno nella nostra esperienza si estingue sempre piuttosto rapidamente. In realtà, come già molti secoli prima i Greci avevano osservato, l’unico moto perpetuo che si incontra in questo mondo è il moto circolare del cielo. [] Sbagliavano, naturalmente, ma non come a prima vista potrebbe sembrare. In fondo si deve riconoscere che per il loro mondo, un mondo finito, avevano ragione: la legge d’inerzia postula infatti un mondo infinito. E questo non va dimenticato se non si vuole correre il rischio di essere ingiusti verso quanti non riuscirono a liberarsi dal fascino della circolarità.”

 

Come si vede si tratta di una riflessione molto ricca, non certo facile dato che si tratta di studenti che hanno appena iniziato lo studio della filosofia; tuttavia la consuetudine con la concezione aristotelico-medievale di un universo sferico, pieno, finito, acquisita con il percorso dell’anno precedente, ha fornito i prerequisiti per comprendere l’affermazione che il principio d’inerzia postula un universo infinito. Di grande rilievo anche il riferimento a un punto di vista diffuso nel senso comune, “quello di percepire la rotazione uniforme come uno stato di equilibrio [Westfall, 1989: 435], o uno status, appunto, qualcosa che si mantiene da sé (di più, l’unico moto che si mantiene da sé). Newton ci impone invece di cercare una causa per il moto circolare; e gli studenti avevano ben presente il moto della sferetta lungo la guida circolare interrotta, in cui tale causa era ben identificabile nella guida.

 

4c. Un nuovo concetto di accelerazione

E’ venuto il momento di analizzare a fondo il moto circolare uniforme; dapprima si precisa che cosa significa uniforme, proponendo di adattare la definizione di Galileo di moto equabile in linea retta: saranno dunque percorsi archi uguali in tempi uguali, comunque presi. Avevamo già definito la velocità come rapporto tra circonferenza e periodo e la velocità angolare come rapporto tra angolo giro e periodo. L’insegnante pone la domanda: E’ presente accelerazione nel moto circolare uniforme? E chiede che gli studenti provino a riflettere e rispondere personalmente a casa. Gli studenti, in base alle loro risposte, si sono divisi in due gruppi:

-         quelli che hanno affermato che essendo la velocità definita come Dv/Dt, e non essendoci per definizione Dv, l’accelerazione non può che essere nulla;

-         quelli che si sono convinti che c’è accelerazione, altrimenti il moto sarebbe rettilineo e uniforme; tra questi, alcuni hanno anche precisato che il moto circolare uniforme è il risultato di un moto rettilineo uniforme su cui interviene una forza verso il centro.

A questo punto si poteva sbrigativamente dare ragione agli studenti del secondo gruppo, che hanno mostrato di cogliere il concetto nuovo e fondamentale di accelerazione in un moto curvilineo.  L’insegnante, tuttavia, ha preferito lasciare ancora aperta la discussione e procedere verso la soluzione della questione analizzando i moti già conosciuti (sottolineando che la nostra conoscenza dovrebbe sempre procedere così, la novità dovrebbe essere introdotta agganciandosi saldamente a ciò che già conosciamo): moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato e moto parabolico. In ciascun caso l’insegnante ha cercato di condurre gli studenti a descrivere nel modo più completo possibile il moto; in particolare, nel caso del moto parabolico, che gli studenti ricordano essere la composizione di un moto uniforme e di un moto uniformemente accelerato su direzioni perpendicolari, si conclude che c’è un cambiamento nella direzione del moto. Qualcuno suggerisce che si potrebbe tentare di ottenere anche il moto circolare uniforme come composizione di due movimenti; l’insegnante osserva che è un’ottima idea e che verrà sviluppata tra breve. Per evidenziare il cambiamento di direzione si chiede di disegnare la velocità in diversi punti della traiettoria parabolica; il concetto di velocità come vettore era già stato introdotto e qui si è trattato di consolidarlo per prepararsi ad applicarlo ad un nuovo caso. Non è stato immediato e semplice per tutti disegnare il vettore velocità nel moto circolare uniforme; alcuni, in analogia con il moto dei proiettili, hanno in effetti tentato di ottenere il vettore velocità come composizione di vettori su direzioni diverse, ma non hanno saputo sviluppare fino in fondo la costruzione. Una volta disegnati correttamente i vettori è stato invece immediato affermare che c’è un cambiamento di direzione del vettore velocità. E’ stato importante sottolineare che le parole velocità e accelerazione sono definite in fisica con significati diversi da quelli del senso comune; e questo serve a incoraggiare coloro che con disagio sono arrivati ad affermare che sì, nel moto circolare è presente accelerazione.

            Per trovare l’entità, la misura di questa accelerazione si riprende l’idea, avanzata già da alcuni, della composizione dei movimenti; è un procedimento semplificato riconducibile a quello di Huygens (che in verità per questa via intese determinare il conato centrifugo [Westfall, 1984: 159]), riportato nel libro di testo.

Disegno

 

Esso fa uso ampiamente di quanto ci ha insegnato Galileo; uno studente ha ricordato lo scienziato pisano, quando nei Discorsi affermava che altri ingegni più acuti del suo avrebbero penetrato i più ascosi recessi della nuova scienza da lui fondata. I due movimenti che si compongono sono rettilineo uniforme lungo la tangente e uniformemente accelerato  verso il centro, e qui sta la differenza con la traiettoria parabolica in cui il moto accelerato avviene lungo una direzione fissa.

Per sottolineare maggiormente che l’accelerazione nel moto circolare uniforme è un vettore, derivante dal cambiamento del vettore velocità, si è voluta offrire agli studenti la possibilità di eseguire con il software CABRI la costruzione della variazione del vettore velocità. Dapprima si è costruito il vettore velocità in un punto e con la funzione animazione lo si è visto spostarsi intorno alla circonferenza; poi se ne è costruito un altro di uguale lunghezza in un punto vicino e si è costruito il vettore differenza. Si è cercato, come sempre, di non impartire ricette e istruzioni ma di far trovare agli studenti il procedimento: questo comporta certamente tempi più lunghi ma il fatto che gli studenti cerchino personalmente la strategia che risolverà il problema produce un’appropriazione del significato di ciò che si va costruendo difficilmente conseguibile con una didattica puramente trasmissiva. Si osserva inoltre che la definizione di differenza tra vettori è stata costruita insieme agli studenti nel momento in cui se ne è presentata la necessità, diversamente da ciò che si trova in molti manuali in cui si trattano i vettori in generale in un capitolo introduttivo, senza alcun riferimento a situazioni fisiche concrete (allo stesso modo si era definita la somma tra vettori trattando della sovrapposizione delle forze, e allo stesso modo si procederà per i due tipi di prodotto tra vettori).

Disegni da Cabri

Una volta ottenuto il vettore  gli studenti si sono accorti che, quando i due punti in cui sono disegnati i vettori si avvicinano, il vettore differenza, oltre ovviamente ad accorciarsi,  assume la direzione del raggio. Si è data la necessaria enfasi a questa conclusione affermando che il vettore accelerazione ha la direzione del raggio, cioè è diretto verso il centro, quando riferito a un brevissimo intervallo di tempo. La figura poi ci è servita a ricavare, attraverso una similitudine fra triangoli, l’espressione per la grandezza del vettore  che abbiamo constatato essere la stessa ricavata con il precedente procedimento.

            Sia qui che in precedenza sono stati evidenziati quei passaggi al limite e quelle approssimazioni che sono necessarie per giungere al risultato, senza la pretesa di una trattazione rigorosa da un punto di vista matematico. Del resto gli studenti avevano già affrontato il concetto di velocità istantanea, come velocità calcolata su un brevissimo intervallo di tempo; e già avevano trattato settori circolari come triangoli quando l’angolo al centro è piccolissimo. Certamente è stato necessario dedicare tempo a queste considerazioni; al fatto che il rapporto tra due grandezze molto piccole può anche essere un numero grande, al fatto che il vettore accelerazione si può disegnare di qualunque lunghezza, indipendentemente dalla lunghezza del vettore , al fatto che un vettore resta se stesso quando si trasla, al fatto che la lunghezza del vettore accelerazione sarà la stessa per qualunque punto della circonferenza … tutte questioni rispetto alle quali gli studenti avevano espresso perplessità.

 “Se c’è accelerazione allora ci dev’essere una forza”: questa è stata l’osservazione di uno studente dopo tutto questo lavoro sulla costruzione dell’accelerazione nel moto circolare uniforme. E, d’altra parte, qualcuno si era convinto che c’è accelerazione nel moto circolare uniforme proprio perché ci vuole una forza, un’azione per produrlo. Siamo pronti per andare a leggere la seconda legge del moto.

 

5. IL CONCETTO DI FORZA IMPRESSA, LA MASSA INERZIALE, LA SECONDA LEGGE DEL MOTO. IL CONCETTO DI FORZA COME INTERAZIONE E LA TERZA LEGGE DEL MOTO.

 

5a. Il concetto di forza impressa

Come si era fatto per la prima, anche la seconda legge viene prima letta in latino, un po’ per gioco; poi nella traduzione italiana nell’antologia di P. Rossi [1984: 314-315]:

 

“Il cambiamento del moto è proporzionale alla forza motrice impressa ed avviene nella direzione della linea retta secondo la quale quella forza è stata impressa”

 

E altrettanto importante in connessione con la seconda legge, la definizione di forza impressa, letta da uno degli studenti (che si era definito un medievale):

 

“Una forza impressa è un’azione esercitata su un corpo che gli fa cambiare il suo stato di quiete o di moto uniforme lungo una linea retta. Questa forza consiste soltanto nell’azione e, cessata l’azione, non rimane nel corpo.”

 

Newton sembra proprio rivolgersi ai nostri studenti, quando precisa che la forza non rimane nel corpo; traspare da questa precisazione la consapevolezza della necessità di un cambiamento concettuale profondo che conduca, appunto, a definire la forza in modo radicalmente diverso da ciò che il senso comune suggerisce. Il concetto di forza, secondo M. Jammer [1979], è centrale nella storia della Fisica e la sua definizione esatta, come quella di qualunque altro concetto in ambito scientifico, costituisce uno stadio avanzato dello sviluppo del concetto; da queste considerazioni discende la necessità di offrire molteplici occasioni di riflessione agli studenti, su tempi distesi, per cogliere consapevolmente il senso della definizione, qui per il caso della forza, così come per altri concetti fisici. Per enfatizzare il cambiamento concettuale insito in questa definizione l’insegnante ha proposto che fosse affissa in classe su un cartellone, proposta accolta e realizzata dagli studenti (con la premessa: per tutti i medievali!).

            L’analisi della seconda legge ci ha trovato preparati; infatti gli studenti sapevano abbastanza bene cosa Newton intendesse con cambiamento del moto. Certo, abbiamo commentato che l’espressione è un po’ ambigua, che lascerebbe intendere sia un cambiamento di velocità sia di quantità di moto (di questa grandezza si era letta la definizione di Newton, dopo quella di quantità di materia).  Si è chiesto di sintetizzare il contenuto della seconda legge nel moderno linguaggio simbolico cui gli studenti sono ormai abituati (anche se non sempre a loro agio…); dopo l’analisi dei contributi e delle perplessità dei singoli siamo giunti all’espressione:

e non semplicemente aµF, come qualcuno si era limitato a scrivere.

            Per acquisire pienamente e consolidare il significato della seconda legge l’insegnante ha proposto di analizzare le situazioni già conosciute in cui si ha un cambiamento del moto e riconoscere in ciascuna di esse forza impressa e accelerazione. Nessuna difficoltà per il moto di caduta verticale; molto più problematico, invece, è stato individuare il vettore accelerazione nel moto di un proiettile: in effetti solo pochissimi (tre o quattro) non hanno avuto perplessità nell’individuare la forza di gravità come forza impressa e nel disegnare, fidandosi della seconda legge, l’accelerazione verticale verso il basso[xii]. Del moto parabolico, tutti gli altri, avevano presente la descrizione cinematica di Galileo, in cui il vettore velocità è la composizione di due vettori orizzontale e verticale; la costruzione dell’accelerazione dai vettori velocità, che alcuni hanno cercato di percorrere sulla traccia di quello che ci aveva portato all’accelerazione centripeta, si presentava tutt’altro che semplice; è stato necessario l’intervento dell’insegnante per far riconoscere che forza impressa e accelerazione sono entrambe verticali, coerentemente con la seconda legge. Passando al moto circolare uniforme, di nuovo, non ci sono state difficoltà, anche se qualcuno mostrava di intendere come unico tipo di moto circolare quello dei corpi celesti sottoposti alla gravità. Per questo motivo si è chiesto di produrre altri esempi e di individuare ogni volta la forza impressa, che qualcuno, in perfetta coerenza con la seconda legge, ha cominciato spontaneamente a chiamare centripeta, anche se fino a questo momento questo aggettivo era stato introdotto solo per l’accelerazione.

            In questa ricerca delle forze nei vari esempi proposti di moto circolare, immancabilmente, è emersa la questione della forza centrifuga; gli studenti hanno capito che non si tratta di una forza impressa e vi hanno saputo riconoscere un modo per identificare la tendenza dei corpi a muoversi di moto rettilineo uniforme. In effetti, nelle verifiche successive, quasi mai è riemersa questa rappresentazione ingenua. In questa occasione si è anche letta la definizione di Newton “Chiamo forza centripeta la forza in virtù della quale un corpo è spinto o attratto verso un determinato punto considerato come centro” [Westfall, 1989: 428]; si è anche precisato che Newton dichiarò di aver coniato quella parola (“che cerca il centro”) proprio in parallelo con il termine coniato da Huygens (“che fugge il centro”). E Westfall, osserva che “nessun altra parola poteva caratterizzare meglio i Principia che costituiscono per eccellenza un’indagine sulle forze centripete come determinanti del moto orbitale”.

 

            Sappiamo che Newton nei Principia non dà alcuna dimostrazione, alcuna prova sperimentale della seconda legge, limitandosi ad attribuirla, insieme alla prima legge, a Galileo e Huygens [Jammer, 1979: 136; Koyré, 1976: 80; Geymonat, 1988: 168]; Cohen [1974: 181] osserva che Newton è molto generoso in questa attribuzione e che “se è vero che si può sostenere che Galileo fosse in possesso della legge d’inerzia [] è necessario un grande sforzo d’immaginazione per far risalire a Galileo anche la seconda legge”. Per cercare di giustificare, almeno in parte, questa attribuzione si sono invitati gli studenti a riflettere sul fatto che la scoperta di Galileo che il moto sotto l’azione della forza di gravità avviene con accelerazione costante è certamente coerente con la seconda legge di Newton; si sono poi riproposte agli studenti due situazioni dinamiche esaminate da Galileo nei Discorsi: nella Giornata prima l’analisi del moto di caduta in un mezzo e nella Giornata terza la caduta lungo un piano inclinato; in entrambi i casi Galileo, pur non parlando esplicitamente di forza nel senso Newtoniano, ricava dalle azioni presenti sul corpo il suo modo di muoversi. Leggiamo infatti, per il primo dei due casi [Galilei, 1980: 647]:

 

“Un corpo grave ha da natura intrinseco principio di muoversi [] con movimento [] accelerato sempre egualmente. [] E questo si deve intender verificarsi tutta volta che si  rimovessero tutti gl'impedimenti accidentarii ed esterni, tra i quali uno ve ne ha che noi  rimuover non possiamo, che è l'impedimento del mezzo pieno, mentre dal mobile cadente  deve esser aperto e lateralmente mosso: al qual moto trasversale il mezzo, benché fluido  cedente e quieto, si oppone con resistenza or minore ed or maggiore, secondo che  lentamente o velocemente ei deve aprirsi per dar il transito al mobile; il quale, perché, come ho detto, si va per sua natura continuamente accelerando, vien per consequenza ad  incontrar continuamente resistenza maggiore nel mezzo, e però ritardamento e diminuzione  nell'acquisto di nuovi gradi di velocità, sì che finalmente la velocità perviene a tal  segno, e la resistenza del mezzo a tal grandezza, che, bilanciandosi fra loro, levano il  più accelerarsi, e riducono il mobile in un moto equabile ed uniforme.”

 

In effetti, non è stato immediato per gli studenti riconoscere nell’azione del mezzo una forza impressa nel senso newtoniano; ma è stata una buona occasione per riconsiderare in modo più rigoroso un problema affrontato in precedenza solo in modo qualitativo e per imparare ad applicare in diversi contesti il concetto newtoniano di forza impressa. Ma soprattutto si è trattato di un’eccellente occasione per riconoscere la continuità di pensiero nel processo del fare scienza; I. B. Cohen  [1974: 216] osserva che la grandezza dell’impresa di Newton evidenzia la grande importanza di uomini come Galileo, Keplero, Huygens, dimostra “in che misura la scienza è un’attività collettiva e cumulativa, e chiarisce quale sia l’influenza del genio individuale sul futuro di uno sforzo scientifico cooperativo.”

 

5b. Il concetto di massa inerziale

Il nostro percorso di assimilazione della seconda legge, a questo punto, ha dovuto affrontare il concetto di massa inerziale; si osservi che non si era ancora mai scritta la celebre formula F=ma (un’espressione che, a giudizio dell’insegnante, piega troppo il significato della legge verso una definizione di forza, diversamente dall’approccio fin qui proposto). La proposizione 24 del II libro dei Principia costituisce, secondo Guicciardini [1998: 55] una “spiegazione” della seconda legge; è stata letta in classe e si è chiesto agli studenti di provare a riscriverla in linguaggio simbolico:

 

 “la velocità che una data forza può generare in una data materia durante un tempo dato sta come la forza e il tempo direttamente, e come la materia inversamente. Quanto maggiore è la forza o più lungo il tempo, o minore è la quantità di materia, tanto maggiore sarà la velocità generata. Ciò che è manifesto per la seconda legge del moto.”

 

Non è immediato riconoscere che la velocità generata da una forza in un  corpo va tradotta in Dv; per il resto non ci sono state difficoltà, almeno da un punto di vista formale. Dunque la relazione, letteralmente, risulta:

 

 

Facciamo comparire l’accelerazione e quindi arriviamo a scrivere:

 

 

 

in cui si è anche tenuto conto della natura vettoriale di forza e accelerazione. A proposito del fattore m che abbiamo introdotto per materia, ricordiamo che la definizione di quantità di materia come prodotto della densità per il volume ci era sembrata insoddisfacente. Si è scelto di affinare il concetto a partire dalla scoperta di Galileo che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, affermazione che conduce al concetto di massa inerziale, caratteristica intrinseca ad ogni oggetto; questo era un fatto sperimentale ben noto agli studenti dal percorso del precedente anno. Vediamo dunque come si è esaminato il significato di questo fatto in relazione alla seconda legge; il nostro ragionamento è così schematizzabile:

-         su corpi diversi in caduta libera agiscono diverse forze di gravità (fanno allungare diversamente un dinamometro) ;

-         se, come afferma la seconda legge di Newton, , si ottiene che le accelerazioni sono diverse  ….

-         …. ma non è così: i fatti ci dicono che la gravità accelera allo stesso modo tutti  i corpi:

-         Cosa possiamo concludere? Che i corpi rispondono diversamente”, dice una studentessa.

E’ la seconda legge della dinamica a suggerirci che il rapporto costante tra accelerazione e forza deve essere in relazione con questa proprietà dei corpi di rispondere diversamente all’azione di una forza; meglio ancora, che questo rapporto fornisce la misura del modo diverso di ciascun corpo di rispondere all’azione di una forza esterna. Per approfondire il significato della grandezza che stiamo per definire si fanno ancora altri esempi: si propone di immaginare l’azione di una stessa forza su corpi diversi, corpi, dunque, che abbiano diversa inerzia. L’inerzia, per gli studenti, è la proprietà di mantenere uno status. Una delle situazioni a cui l’insegnante chiede di riferirsi è quella di un carrello al supermercato; gli studenti osservano quanto sia difficile manovrarlo quando ci abbiamo messo dentro diverse confezioni di acqua minerale; e specificano che non si fa difficoltà solo per metterlo in moto ma anche per frenarlo, per fargli cambiare direzione. Dalla discussione emerge che sarebbe necessario eliminare l’attrito, poter fare sempre esperimenti con la rotaia a cuscino d’aria o con il disco a ghiaccio secco. A questo punto l’insegnante decide di sintetizzare il significato di massa che si è costruito insieme agli studenti nella definizione di massa inerziale:

 

 

            Sul significato della grandezza introdotta si è continuato a riflettere, anche alla luce di quanto afferma Arons [1992: 71]: “L’esistenza di questo singolo numero [il valore della massa inerziale] non è affatto una questione di convenzione e neppure è dedotto da principi teorici; si tratta invece di un fatto sperimentale, una legge di natura”. In particolare, tornando al fatto sperimentale che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, si è osservato che questo, non solo ci ha condotto al concetto di massa inerziale, ma ci porta anche a concludere che la forza di gravità è direttamente proporzionale alla massa inerziale. L’esperienza comune non ci permette di fare esperienze separate su queste due proprietà della materia; e infatti si trova difficoltà quando si vuole convincere gli studenti che la proporzionalità tra forza di gravità e massa inerziale è una stranezza, che gravità e inerzia sono proprietà completamente distinte della materia; che è una pura coincidenza che ciò che si misura con la bilancia, cioè il peso (si potrebbe dire la massa gravitazionale, ma si è scelto di non introdurre questo termine) coincida con ciò che si misura tramite il confronto di accelerazioni, cioè la massa inerziale. Per consolidare questa distinzione si è cercato di svolgere qualche esperimento mentale, provando a immaginare un luogo in cui la gravità è assente; alcuni studenti hanno osservato che la proprietà di mantenere il proprio status, che abbiamo chiamato inerzia, sarà ancora presente, anche se altri hanno evidenziato qualche difficoltà ad accettare l’idea che “quando i corpi non pesano più si faccia fatica ad accelerarli o fermarli”. In particolare, uno studente osserva che “nello spazio i corpi non incontrano resistenza”, evidenziando una confusione ricorrente tra la forza d’attrito che si oppone al moto e l’inerzia, intesa come la forza innata o insita della materia, di cui parlerà anche Newton come vedremo più avanti: le due forze non vengono distinte, se non c’è attrito del mezzo non c’è più alcuna resistenza.

             Questa distinzione tra gravità e inerzia, dunque, è certamente un obiettivo “alto”, un tema su cui sarà opportuno tornare a riflettere quando gli studenti avranno cognizione di altri tipi di forza oltre alla gravità; e nel corso dell’ultimo anno se si giungerà a trattare il Principio d’equivalenza di Einstein.

 

5c. La terza legge del moto

Questa sezione dedicata alle leggi della dinamica si è conclusa con la lettura della terza legge, come per le altre prima in latino e poi nella traduzione presente nell’antologia di P. Rossi [1984: 316]:

 

“Ad un’azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria, ovvero le azioni reciproche di due corpi sono sempre uguali e dirette in direzioni opposte”

 

Nel corso della classe prima, anche se non in modo completo, questa legge era stata enunciata (senza parlare di terzo principio di Newton); infatti esaminando forze in situazioni di equilibrio, esercitandosi a riconoscerle, a capire su quali oggetti agiscono si era giunti all’idea dell’azione reciproca tra due corpi, a concepire la forza come interazione; l’estensione del concetto a situazioni dinamiche richiede tuttavia una certa attenzione. Anche qui si è chiesto agli studenti di produrre esempi e di esprimere eventuali difficoltà; la terza legge ci deve educare a esprimerci in modo diverso da come siamo soliti fare nel linguaggio comune; così non dobbiamo dire “mi sono dato una spinta” ma piuttosto “il bordo della piscina, il trampolino, … su cui ho esercitato una forza, ha esercitato una forza su di me, mi ha spinto”. Qualcuno ha osservato che una cosa del genere sembra un po’ astratta; e l’insegnante ha colto l’occasione per osservare che questa terza legge ci impone di accettare anche altre stranezze, come ad esempio il fatto che ogni corpo attratto dalla Terra a sua volta attragga la Terra!  Così, per rendere ragione del fatto che non abbiamo alcuna percezione di ciò, si è letto anche un avvertimento di Newton di commento alla legge:

 

“I mutamenti provocati da tali azioni sono uguali non nelle velocità, ma nei moti dei corpi, ove, naturalmente, i corpi non siano altrimenti impediti. Infatti i mutamenti delle velocità [] sono inversamente proporzionali alle masse”

 

E per chiarire meglio che cosa intendesse Newton si sono considerati alcuni esempi di urto; se è difficile credere che l’azione reciproca, ad esempio, tra un TIR e una piccola vettura che si scontrano sia identica è perché in realtà, istintivamente, tendiamo a confrontare gli effetti delle forze e non le forze stesse. Lasciando gli studenti liberi di esprimersi, qualcuno evidenzia ancora una certa confusione; ad esempio, uno afferma che “un corpo urtandone un altro non riuscirà sempre a muoverlo, lo farà solo se la forza supera la resistenza dell’altro”.  L’insegnante ha scelto di leggere un brano di Cartesio (la terza legge della natura), che era stato volutamente trascurato perché contiene un errore, ma che in questo contesto acquista una funzione importante [Rossi, 1984: 312]:

 

“Se un corpo che si muove ne incontra un altro più forte di sé, non perde nulla del suo movimento, e se ne incontra un altro più debole che egli possa muovere, ne perde tanto quanto gliene dà”

 

Abbiamo letto anche qualche riga di spiegazione tramite esempi e qualcuno ha osservato che è proprio l’opinione espressa dal compagno, addirittura quasi con le stesse parole: “se un corpo che si muove e che ne incontra un altro, ha minor forza che quest’altro per resistergli, non perde nulla del suo movimento”. C’è una certa sorpresa tra gli studenti e quasi consola scoprire che  i propri errori e le proprie difficoltà non sono da liquidare come sciocchezze ma che invece rappresentalo quasi un passaggio obbligato verso le idee scientificamente corrette. E per arrivare alla cognizione corretta sugli urti si è considerato il contributo di Huygens [D’Elia, 1985: 59] il quale afferma, in contrasto con Cartesio:

 

“Quello che [Galileo] dice sull’immensa forza della percossa si accorda bene con le nostre dimostrazioni. Infatti mostriamo che un corpo di piccolissima mole può spostare con l’urto un corpo grandissimo”

 

Ed esprime l’idea con un’immagine estremamente efficace, un uomo che con un colpo di martello sposta il globo terrestre! Huygens sa che a molti questa idea sembrerà assurda, ma non a Galileo. Gli studenti hanno mostrato ancora qualche perplessità; si è chiarita ancora meglio l’idea di Huygens: se un corpo pesante quanto si voglia riceverà un urto istantaneo da un corpo di peso e velocità piccole quanto si voglia, si muoverà, sia pure di poco. Qualcuno, su sollecitazione dell’insegnante, ha ricordato il comportamento dei corpi sui piani privi d’attrito (“si fa fatica a farli stare fermi!”), il carrello sulla rotaia a cuscino d’aria e il disco a ghiaccio secco che vengono mossi con un soffio; e l’insegnante ha citato un brano di Galileo ben conosciuto:

 

Se tutto sarà disposto in questo modo, un corpo su un piano equidistante dall'orizzonte verrà mosso dovunque da una piccolissima forza, anzi, da una forza minore di ogni altra forza."

 

Dunque, ancora una volta, siamo invitati a ragionare su situazioni ideali, in cui i piani sono perfettamente orizzontali e niente è d’impedimento, come aveva avvertito Newton nella spiegazione della terza legge, al moto del corpo urtato.

Un altro aspetto che l’insegnante ha deciso di affrontare è quello della resistenza del corpo, secondo l’espressione usata da diversi studenti in più occasioni; si era ritenuto opportuno non leggere la definizione di Newton di forza insita di un corpo, ma il presentarsi così esplicito di questa idea ha reso inevitabile affrontare la questione. Dunque [Rossi, 1984: 314] :

 

“La forza insita o forza innata della materia è un potere di resistere per il quale ogni corpo, per quanto in esso risiede, tende a perseverare nel suo stato attuale, sia esso di quiete o di moto uniforme lungo una linea retta. Questa forza è sempre proporzionale al corpo cui è applicata e non differisce dalla inattività della massa se non per il nostro modo di concepirla. [] Questa forza insita può essere chiamata, con un nome più espressivo, forza d’inerzia o forza d’inattività.”

 

La resistenza di un corpo di cui aveva parlato il nostro studente, e che è tanto presente nelle descrizioni degli studenti in generale (spesso confusa/sovrapposta con l’attrito) è proprio la forza insita cui si riferisce Newton in questo testo; ma, come afferma Arons [1992: 81], egli evitò di confonderla con le “forze attive” che provocano variazioni di quantità di moto. Infatti, rileggendo la seconda legge, troviamo che il cambiamento del moto è proporzionale alla forza impressa. E’ stato chiarito dunque agli studenti che il termine forza dovrà essere utilizzato solo con il significato di forza impressa (quella del cartellone che abbiamo appeso in classe) e che l’idea di forza di resistenza deve confluire nel concetto di massa inerziale; va da sé che non sarà questa dichiarazione da sola a chiarire le idee agli studenti, a far superare la tentazione di riferirsi alla resistenza di un corpo. Sarà l’esercizio, il confrontarsi con tante diverse situazioni cui applicheremo la seconda legge (come suggerisce Arons) a farci acquisire lo schema concettuale corretto.

            Sulla terza legge della dinamica è stato un buon supporto anche il libro di testo, che presenta numerose immagini, considerazioni, disegni; tra questi, per noi che avevamo già introdotto l’idea della gravitazione universale,  il diagramma delle forza d’interazione tra Terra e Luna. Parecchi studenti sapevano che il fenomeno delle maree è dovuto alla Luna e questa, dunque, è stata giudicata una prova convincente di questo terzo principio, che a qualcuno era parso condurre a conclusioni davvero poco intuitive.

 

6. DALLE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI ALLA LEGGE DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

 

6a. Dalle leggi del moto alle prime due leggi d Keplero

In questa ultima sezione si sono presentati i passaggi fondamentali che hanno condotto Newton alla legge della gravitazione universale. In realtà la nostra trattazione si è occupata solo di alcune dimostrazioni; in particolare, come è espresso dal titolo stesso di questa sezione, ci si è limitati a dimostrare come, assumendo le leggi di Keplero come ipotesi, utilizzando le tre leggi del moto, si giunga alla legge di gravitazione universale. Ci si è solo limitati a far presente agli studenti che sarebbe necessario anche il percorso logico inverso, quello che assume come ipotesi la legge di gravitazione universale e deduce da essa le leggi di Keplero. Inoltre, si sono certamente semplificati i procedimenti rispetto a quelli originali di Newton, dato il livello ancora modesto di competenze geometrico-matematiche degli allievi.

           

            La prima dimostrazione, svolta secondo la trattazione che ne fa il libro di testo, ci ha permesso di ricavare che, nell’ipotesi che un corpo sia sottoposto a una sequenza di impulsi tutti rivolti verso uno stesso punto S (ipotesi della forza centrale), la sua traiettoria diventa una linea poligonale percorsa dall’oggetto in accordo con la legge delle aree.

DISEGNO

 

Alla base della dimostrazione sta un risultato, che pure dobbiamo a Newton, che gli studenti conoscevano dalla classe prima, la regola del parallelogramma. Se il corpo si muovesse di moto uniforme l’area ASB e l’area BSc risulterebbero uguali; ma quando è in B il corpo riceve una spinta verso S che, se fosse fermo, lo porterebbe in V. Il risultato è che nel tempo del moto uniforme da B a c il corpo si sposta in C. E’ evidente dalla figura che le aree SBc e SBC sono uguali; si è concluso specificando che il risultato resterà valido anche quando gli impulsi che si succedono hanno durata molto breve e la linea si trasforma in una curva continua (qualcosa di simile si era già visto presentando il ragionamento di Hooke nella terza sezione). Le difficoltà incontrate dagli studenti sono legate alle loro scarse competenze in geometria (qualcuno si confonde nel riconoscere l’altezza di un triangolo….); nessun problema invece per il significato fisico implicato.

 

La dimostrazione dell’andamento quadratico inverso della forza con la distanza tra Sole e pianeta è stata svolta prima nella versione semplificata presentata dal libro di testo; ammettendo che l’orbita sia circolare, si esprime il periodo di rivoluzione del pianeta, presente nell’espressione dell’accelerazione centripeta, mediante la terza legge di Keplero. I passaggi algebrici sono molto semplici, ma si è voluto sottolineare che, nel ragionamento che conduce dall’espressione dell’accelerazione a quella della forza, si è utilizzata la seconda legge della dinamica e dunque qualunque conferma della legge di forza ottenuta è anche, indirettamente, una conferma della legge fondamentale della dinamica.

            Successivamente si è voluta proporre la dimostrazione svolta da Newton nel caso generale dell’orbita ellittica secondo lo schema riportato in Westfall [1989: 444] e con maggior dettaglio in Guicciardini [1998: 60-64]; qui la dipendenza della forza dall’inverso del quadrato della distanza è ottenuta a partire dalle prime due leggi di Keplero, dunque orbita ellittica e forza centrale. Si è utilizzato CABRI (con cui, ricordiamo, già era stata svolta la costruzione dell’ellisse come luogo geometrico); l’idea alla base della dimostrazione è questa: su un arco d’ellisse PQ, percorso dal pianeta, la forza centrale potrà essere considerata costante in direzione e intensità se l’arco è molto piccolo. La seconda legge della dinamica (anche qui se ne è sottolineato l’utilizzo) prevede che sotto l’azione di una forza costante un corpo si muova secondo la legge del moto uniformemente accelerato stabilita da Galileo. Da qui, utilizzando la legge delle aree e una proprietà dell’ellisse, che non è stata dimostrata ma semplicemente “verificata” sulla costruzione ottenuta con CABRI[xiii], si arriva a dimostrare la tesi.

            Certamente la dimostrazione si è presentata come un momento impegnativo; è stato necessario richiamare più volte, agli studenti che evidenziavano incertezze più marcate, il senso di quello che si stava facendo. Tuttavia è stato senz’altro importante proporre questa dimostrazione perché vi abbiamo ritrovato quella tecnica di composizione dei movimenti che si era appresa con l’analisi di Galileo del moto di un proiettile e altre volte utilizzata in questo percorso; così come dobbiamo a Galileo la legge della caduta con accelerazione costante. E dunque si può comprendere il riconoscimento di Newton verso i giganti sulle cui spalle si è poggiato per vedere tanto lontano. Il lavoro che ci ha impegnati, infine, ci ha fatto “toccare con mano” il senso di un’affermazione che si era fatta più volte riguardo alla competenza matematica di Newton, che gli ha permesso di dimostrare ciò che Hooke e altri avevano saputo solo intuire.

           

6b. Il significato della terza legge di Keplero

A questo punto del nostro percorso verso la legge di gravitazione universale si è letto un  brano [Westfall, 1989: 425-426] in cui è descritta la corrispondenza tra Newton e l’astronomo Flamsteed, direttore dell’Osservatorio di Greenwich. Si capisce che Newton era interessato a conoscere una serie di dati osservativi che avrebbero fornito conferma all’idea della gravitazione universale; prima di tutto desiderava conoscere le osservazioni fatte dall’astronomo sui movimenti dei satelliti di Giove, in particolare se anch’essi obbedivano alla terza legge di Keplero. “Le vostre informazioni mi riempiono di soddisfazione” scrive Newton, che ha dunque trovato le conferme che cercava. Con gli studenti, a questo proposito, si è svolta una verifica con il foglio elettronico Excel a partire dai dati sui satelliti presenti nel libro di testo, ottenendo il valore costante del rapporto T2/R3. Newton avrebbe anche chiesto notizie a Flamsteed sulla scoperta di nuovi satelliti di Saturno (dai quali pure avrebbe potuto ricevere conferme); ma, no, Flamsteed è convinto che Saturno abbia un solo satellite (scoperto qualche tempo prima da Huygens). Si è anche letto che Newton desiderava informazioni sul moto della cometa del 1680-81 affermando di “voler determinare le traiettorie percorse dalle comete del 1664 e del 1680 secondo i principi del moto dei pianeti”.  L’altra questione di cui Newton mostra di occuparsi è la reciproca influenza tra Giove e Saturno che dovrebbe essere rivelata, quando Giove si avvicina alla congiunzione con Saturno, dalle tabelle sul moto dei pianeti. Il contenuto di questa corrispondenza ha dunque fatto comprendere agli studenti come l’idea di attrazione universale, che avevamo letto in un scritto di Hooke per la prima volta, trovi qua una consistenza ben più rilevante dal confronto con i dati sperimentali.

            In particolare, tornando a considerare la terza legge di Keplero, si è osservato come essa ci fornisca un indicazione molto importante: l’accelerazione impressa al corpo attratto, satellite o pianeta che sia, non dipende altro che dalla distanza tra i corpi interagenti. Infatti risulta (nell’ipotesi semplificata dell’orbita circolare):

 

 

dove con Kc si è indicata la costante della terza legge che dipende solo dal corpo centrale attraente. Si è chiesto agli studenti riconoscere l’analogia con un fatto sperimentale ben conosciuto; non tutti si sono mostrati pronti a cogliere questa analogia, molti comunque si sono riferiti con sicurezza al fatto che tutti gli oggetti sulla Terra cadono con la stessa accelerazione. Si è dunque concluso che la forza di attrazione, come la gravità terrestre, è direttamente proporzionale alla massa inerziale del corpo attratto; un altro elemento importante verso la conferma dell’unicità della forza che governa fenomeni terrestri e celesti.

           

6c. La mela, la Luna, la legge della gravitazione universale

Si è considerato, poi, il confronto tra l’accelerazione della Luna sulla sua orbita e l’accelerazione di caduta libera sulla Terra, l’argomento forse più famoso di conferma alla gravitazione universale. Il libro di testo presenta l’argomento con il relativo calcolo, ma si sono volute precisare due questioni risolte dagli autori un po’ frettolosamente. La prima, decisamente la più importante, riguarda l’applicazione della legge dell’inverso del quadrato a una mela che cade in prossimità della superficie terrestre. L’insegnante ha chiesto quale fosse la distanza tra una mela e la Terra; la risposta, ovviamente, non è stata immediata: qualcuno ha osservato che non può essere nulla e altri hanno intuito che distanza nulla si avrebbe al centro della Terra. L’insegnante ha dunque presentato agli studenti, ricordando un brano di Hooke, l’attrazione della Terra su un oggetto come la risultante di tante attrazioni dovute a singoli “pezzi di Terra”. Si è fatto intendere come si tratti di un problema matematico formidabile e si è accennato al fatto che Newton aveva sviluppato una nuova branca della matematica per affrontare tale problema (e altri analoghi); così aveva potuto dimostrare che “l’attrazione gravitazionale esercitata da una sfera di densità uniforme e massa M su un punto P esterno alla sfera è la stessa attrazione gravitazionale esercitata su P da un punto di massa M sito nel centro C della sfera” [Guicciardini, 1998: 74]. Dunque la distanza da considerare tra la mela e la Terra è pari al raggio terrestre; e l’accelerazione della Luna, che è lontana 60 volte di più, dovrebbe essere 1/3600 volte l’accelerazione di caduta della mela e di tutti gli altri oggetti sulla superficie terrestre. Affrontando il calcolo di conferma ci ha portato alla seconda questione da approfondire: come erano stati determinati i dati utilizzati da Newton nel calcolo? E in quali unità di misura erano espressi? Che il rapporto tra raggio terrestre e distanza Terra-Luna fosse stato determinato già nell’antichità era noto agli studenti;  ci si è soffermati sulla determinazione dell’accelerazione di caduta libera precisando che fu Huygens, utilizzando le oscillazioni di un pendolo, a misurarla. Si sono riportati i valori espressi nelle unità di misura del tempo, riportati da Newton nel Libro terzo dei Principia [Cohen, 1974:202] la Luna “cade” verso la Terra percorrendo 15 1/12 piedi parigini in un minuto (si tratta di un’antica unità di misura[xiv]); poiché la distanza di caduta è proporzionale al quadrato del tempo, se l’accelerazione sulla Terra, come vuole provare Newton, è 60x60 volte più grande allora una mela sulla Terra deve cadere di 151/12 piedi parigini in un secondo. Il valore ottenuto da Huygens era in accordo con queste previsioni.

 

            L’ultima tappa verso la celebre legge matematica della gravitazione universale parte dalla terza legge della dinamica; se vi è attrazione reciproca e identità delle forze, allora la forza d’interazione deve essere proporzionale al prodotto delle masse interagenti:

 

 

Il libro presenta, con un certo dettaglio, l’esperimento di Cavendish mediante il quale fu determinata la costante di proporzionalità; è stata l‘occasione per riflettere sull’importanza degli aspetti tecnici nella costruzione dell’impresa scientifica. Gli studenti hanno manifestato una certa sorpresa quando si sono trovati a pensare, per la prima volta, che l’attrazione gravitazionale riguardava anche loro! E hanno potuto dunque comprendere quanto grande sia stata l’abilità di chi è riuscito misurare forze tanto deboli.

           

6d. I formidabili successi della gravitazione universale   

L’importanza della determinazione di G è stata sottolineata anche per un altro motivo; i libri di testo, e non solo il nostro, contengono tabelle riassuntive di dati relativi ai corpi celesti del Sistema Solare (così come contengono informazioni quantitative su molti aspetti del mondo della Natura). Ciò che quasi nessun libro contiene è un percorso che educhi gli allievi  a porsi domande del tipo come facciamo a conoscere …, a sapere che ...? Arons [1992: 400] afferma che l’educazione al pensiero critico passa attraverso l’abitudine a porsi questo genere di domande; e osserva che, invece, per la maggior parte delle persone la conoscenza di fatti,  leggi, dati è “ricevuta da altri, e non sostenuta dalla comprensione delle motivazioni”. In particolare, per il tema di cui ci stavamo occupando, è stato l’esperimento di Cavendish a consentire la determinazione della massa della Terra, ad esempio dal valore dell’accelerazione di caduta sulla sua superficie, della massa del Sole e di ogni pianeta che abbia almeno un satellite, dalle accelerazioni dei corpi orbitanti.

 

                        Questa sezione si è chiusa prendendo in esame ulteriori successi della legge della gravitazione universale. Il libro di testo presenta la spiegazione del fenomeno delle maree sulla base della diversa accelerazione, provocata dalla Luna, della Terra solida e delle masse d’acqua situate sulla sua superficie; tratta delle comete, che con la teoria di Newton diventano normali corpi celesti orbitanti intorno al Sole; accenna ad alcuni esempi di applicazione della legge al di fuori del Sistema Solare. Si è anche presentata la spiegazione che Newton seppe dare di un fatto che era noto agli studenti, la variazione di g con la latitudine sulla base della forma non sferica della Terra.

            Tra tutti i successi della teoria di Newton, però, si è voluto soffermarsi in modo particolare sulla scoperta del pianeta Nettuno; in questa vicenda infatti è stato possibile far conoscere agli studenti un esempio dell’intreccio tra teoria e osservazione nella costruzione della conoscenza scientifica. Nettuno infatti fu visto ma non scoperto [Musgrave, 1995: 58] dall’astronomo Lalande nel 1795; mentre non fu visto ma scoperto matematicamente nel 1846 da Adams e Le Verrier, basandosi su alcune anomalie dell’orbita del pianeta Urano, interpretate come perturbazioni dovute all’attrazione gravitazionale di un pianeta non ancora osservato. Si è letta la lettera scritta da  Le Verrier all’astronomo Galle il 18 settembre 1846 [Grosser 1986: 89-90, 93]:

 

"Sarei lieto di trovare un tenace osservatore che volesse dedicare un po' del suo  tempo ad esaminare una parte del cielo in cui può trovarsi un pianeta da scoprire. Sono  stato portato a questa conclusione dalla teoria di Urano. Un sommario delle mie ricerche  sta per essere pubblicato su Astronomische Nachrichten. Vedrete, Signore, che  dimostro che è impossibile dar conto delle osservazioni di Urano senza introdurre  l'azione di un nuovo pianeta finora sconosciuto; e, straordinariamente, che c'è una sola  posizione nell'eclittica in cui il pianeta può essere localizzato […] La posizione  attuale di questo corpo mostra che adesso siamo, e lo saremo per alcuni mesi, in una  condizione favorevole per poter fare la scoperta. Inoltre la massa del pianeta ci permette  di concludere che il suo diametro è superiore a 3" d'arco. Questo disco è  perfettamente distinguibile, con un buon telescopio, dai diametri stellari spuri causati  dalle aberrazioni."

 

L’identificazione di Nettuno avvenne il 23 settembre del 1846, da parte degli astronomi J.G. Galle e H.L. D'Arrest, dall'osservatorio di Berlino. E’ stato sorprendente sapere che anche Galileo aveva visto Nettuno senza scoprirlo! [Drake, 1988: 293-294].

 

            In conclusione, sottolineiamo che la rilevanza di quest’ultima sezione del percorso non sta solo nella grande importanza della legge universale che si arriva a scrivere; Westfall [1984,185] afferma infatti che: “l’importanza dei Principia è legata molto più al primo libro che alla legge di gravitazione universale.” Ancor più della legge della gravitazione, dunque, è fondamentale il fatto che la spiegazione del sistema del mondo si basa sulle tre leggi del moto formulate da Newton; queste, dunque, ricevono da ogni fenomeno interpretato con successo in coerenza con la gravitazione universale (maree, comete, previsione dell’esistenza di pianeti non osservati, ... ) una conferma formidabile. Qui si dovrebbe ben comprendere l’affermazione fatta nell’introduzione a questo percorso: gli esperimenti di verifica in laboratorio della seconda legge della dinamica (a parte essere occasioni poco più che dignitose per imparare a fare misure) rappresentano una banalizzazione della legge[xv]. Le leggi della dinamica meritano piuttosto una riflessione ampia, svolta attraverso un percorso così articolato, che offra la possibilità di affrontare in modo significativo per lo studente i concetti fondamentali della Fisica classica; e anche di seguire lo svolgersi dell’impresa scientifica, di subire il fascino che la ricerca delle leggi della Natura ha esercitato su coloro che vi hanno partecipato, di “immaginare” la Scienza come un’attività creativa e appassionante.

 

 

 

 

TEMPI DI SVOLGIMENTO

Il percorso si svolto in un arco di tempo di cinque mesi (da metà settembre a metà febbraio); le ore effettive impiegate in totale sono state 46, più 5 ore necessarie per le verifiche scritte; nelle ore qui indicate sono incluse anche le esercitazioni in classe e la correzione di esercizi e problemi assegnati a casa. Le ore settimanali di Fisica sono tre. In dettaglio:

1.      Le osservazioni di Galileo al cannocchiale …: 5 ore

2.      Keplero, … la formulazione delle tre leggi: 11 ore

3.      “A quo moventur planetae?” … una spiegazione unica per moti celesti e terrestri: 6 ore

4.       Newton: il concetto di accelerazione nei moti curvilinei, … :7 ore

5.      Il concetto di forza impressa … la seconda e la terza legge del moto:7 ore

6.      Dalle leggi del moto dei pianeti alla legge della gravitazione universale: 10 ore

 

                  

                   OSSERVAZIONI

ü      Si è fatto più volte riferimento al percorso dello scorso anno scolastico ma non è un prerequisito irrinunciabile. O meglio non lo è il percorso; certi contenuti, è ovvio, lo sono.

ü      E’ lungo l’elenco delle tematiche che, per ovvi motivi, non si sono potute trattare: la filosofia corpuscolare, il tema dell’azione a distanza connesso con la terza legge, …

ü      Nella fase di progettazione l’insegnante aveva ritenuto di poter  dare uno spazio più ampio allo studio delle leggi degli urti, in particolare al lavoro di C. Huygens; ciò non è stato possibile, essenzialmente per motivi di tempo.

ü      E’ anche evidente che non si è voluti entrare in una vera discussione critica delle definizioni e degli enunciati di Newton, ad esempio la circolarità insita nella definizione di forza (IV) unita alla prima legge del moto. Non è certo la mancanza di rigore ciò che mette in difficoltà gli studenti di questa età! Certamente una riflessione critica è auspicabile ma, come già detto, è fuori dalla portata di studenti di terza liceo.

ü      La nostra trattazione è certamente parziale per alcune dimostrazioni; e ovviamente non poteva che essere così. Ad esempio, non si è dimostrato che se un corpo è soggetto a una forza centrale che varia con l’inverso del quadrato della distanza allora la sua traiettoria è una sezione conica.

ü      Sarebbe bene, in vista di questo percorso, non avere introdotto affatto la parola massa; ma è veramente impossibile! Per il semplice fatto che gli studenti ne hanno sentito parlare già nella scuola di base, che è difficile trovare un libro di testo che non la introduca, che i dinamometri che ci sono nei laboratori sono tarati in Newton (se i pesi si misurano in N allora che cosa si misura in Kg?) etc… Con questi studenti,  nel corso della classe prima, si era introdotto il fatto sperimentale che il peso dei corpi varia con il luogo e che dunque può essere pensato come prodotto di un fattore oggetto per un fattore luogo; al primo di questi si era dato il nome di massa. Su questa questione sarebbe necessaria una discussione più ampia che non quella presentata in queste poche righe.

ü      Sarebbe certamente stato interessante approfondire il ruolo delle società e delle accademie scientifiche nel XVII secolo; ci si è limitati soltanto alle notizie presenti sul libro di testo.

ü      Non si è descritto qua di tutto quel lavoro di esercitazione e consolidamento svolto sull’uso delle leggi studiate, lavoro, si potrebbe dire, di addestramento: esso è stato presente ma non rappresenta certo la parte più rilevante. Nella prassi didattica tradizionale si arriva relativamente in fretta alle “formule” e si passa a risolvere le decine di esercizi di fine capitolo.

 

 


 

[i] L’immagine è stata tratta da: http://www2.jpl.nasa.gov/galileo/messenger/oldmess/Moon2.html

 

[v] Arons [1992: 131] raccomanda, insieme ad altre, questa esperienza per aiutare gli studenti a superare alcuni preconcetti sul moto circolare.

 

[vi] Nel film “Inerzia e moto” del PSSC gli studenti avevano osservato, l’anno precedente, il disco messo in moto da una piccola spinta, anche il soffio prodotto con una cannuccia, e lasciato a se stesso.

 

[vii] In Grimellini [1991, 143] gli autori mostrano come i risultati di diverse ricerche abbiano evidenziato che la concezione dell’impetus medievale è la più frequente tra gli studenti

 

[viii] Sul quotidiano La Repubblica del venerdì 10 febbraio 2006 è apparsa la notizia del ritrovamento di un manoscritto della Royal Society e del grande interesse degli storici della scienza per questo documento; l’articolo si riferiva esplicitamente a Newton e Hooke ed è stato oggetto di qualche commento in classe

 

[ix] Il moto della Terra in realtà non è uniforme e in linea retta; riprendere questo tema ed affinarlo ci ha portato a descrivere l’esperimento svolto da G.B. Guglielmini a Bologna (del cui esito, pubblicato nel 1792, gli studenti si sono mostrati dubbiosi), introducendo elementi descrittivi del moto circolare uniforme (la velocità tangenziale) come strumenti utili ad analizzare un contesto preciso, e dunque necessari a comprendere il significato e l’esito dell’esperimento (una definizione, dunque, motivata da un contesto, come già si era fatto per la velocità angolare nella descrizione dell’equante). Sull’argomento si sono assegnati per casa esercizi di determinazione della velocità di rotazione della Terra a diverse latitudini

 

[x] Si veda anche in Westfall [1989: 399-402]

 

[xi] E’ stato necessario, trattandosi di studenti di terza che non possiedono ancora il concetto di funzione, esercitarsi sul significato matematico di questa affermazione

 

[xii] Si è quasi avuto l’impressione che alcuni facciano fatica a individuare la gravità come forza impressa, forse perché sempre presente, indipendente dalla volontà; quasi un’impossibile anticipazione dell’eliminazione della forza nella relatività generale di Einstein

 

[xiii] Presi un punto P e un punto Q sull’orbita ellittica, si tratta di vedere che il rapporto tra il segmento QR e il quadrato costruito sul segmento QT tende a un valore costante quando si prende il punto Q molto vicino al punto P. Gli studenti facevano muovere Q avvicinandolo a P e potevano verificare che detto rapporto rimaneva costante

 

[xiv] Per esercizio si è verificato che, sapendo oggi che il piede parigino corrispondeva a 32.484 cm, la distanza percorsa in un secondo da una mela in caduta è 4,9 m, come si ottiene dal valore 9,8 m/s2 per l’accelerazione

 

[xv] Del resto la prima verifica di laboratorio della seconda legge è stata svolta alla fine del ‘700 (Atwood, 1780) e rappresentava una verifica indiretta.

Cidi Firenze - Centro di iniziativa Democratica degli Insegnanti di Firenze

Inviare a rello84@infinito.it un messaggio di posta elettronica contenente domande o commenti sul sito.

Per domande riguardanti il Cidi di Firenze rivolgersi invece al Presidente Carlo Fiorentini: cidi@dada.it